Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kolmion ympäri piirretty ympyrä voidaan konstruoiden sivujen keskinormaalien avulla. Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä, missä on ympyrän keskipiste.

Kolmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa geometriassa kolmion kärkien kautta kulkevaa ympyrää.[1][2] Kolmen pisteen kautta voidaan aina piirtää joko ympyrä tai suora. Jos kolme pistettä ovat kollineaarisia, voidaan niiden kautta piirtää suora. Jos pisteet ovat epäkollineaariset, muodostuu pisteistä kolmio. Koska kolmio on aina konsyklinen, voidaan sen kärkien kautta piirtää ympyrä. Ympyrää kutsutaan myös nimellä ulkoympyrä.[3][4][5]

Ympyrän keskipiste voi olla kolmion sisä- tai ulkopuolella. Jos kolmio on teräväkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion sisäpuolella. Jos kolmio on suorakulmainen kolmio, on keskipiste kolmion hypotenuusalla. Jos kolmio on tylppäkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion ulkopuolella.[1]

Yleinen kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koordinaateilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kolmion kärkien koordinaatit merkitään ja , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

[2]

joka on evaluoituna

[2]

missä

x:n kerroin saadaan matriisista

jättämällä termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti :n suhteen) determinantista

ja

ja vakiotermi c

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

[2]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

ja

sekä säde

[2]

Sivujen pituuksilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kolmion sivujen pituudet merkitään a, b ja c, on säde

[1]

Sivun ja kulman avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kolmiosta tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma, saadaan Sinilauseesta

[1][6]

Erityinen kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasakylkisellä ja -sivuisella kolmiolla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on a, ympäröivän ympyrän säde R on

Tasakylkisellä kolmiolla, jossa kylkien pituudet ovat a ja kannan pituus b säde on

[1]

Suorakulmaisella kolmiolla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän säde on puolet hypotenuusan c eli kolmion pisimmän sivun pituudesta

ja keskipisteen paikka on hypotenuusan keskipisteessä (Thaleen lause).[1][7]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viite[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Math Open Reference: Circumcircle of a triangle
  2. a b c d e Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.19
  4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.77
  5. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
  6. Math Open Reference: Law of Sines
  7. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.111

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]