Symmediaaninen piste

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Symmediaaninen piste on symmediaanien (siniset) leikkauspisteessä. Piste sijaitsee vastakkaisella puolella kolmion painopistettä (vihreät linjat leikkaavat) kulmanpuolittajien leikkauspisteeseen nähden (katkoviivat leikkaavat).

Symmediaaninen piste [1] (myös Lemoinen piste [1] tai Greben piste [2]) on geometriassa kolmion kulmien symmediaanien leikkauspiste. Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella , mutta paljon käytetään myös tunnusta K.[3][2][4][5]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Trilineaariset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat .[1][3]

Barysentriset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat .[3]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Keskijanojen eli mediaanien leikkauspistettä kutsutaan kolmion painopisteeksi G (). Symmediaanien leikkauspiste K sijaitsee leikkauspisteen I () toisella puolella ja yhtä kaukana kuin painopiste. Tällöin ovat janat KI = IG. Pisteet K ja G ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteja.[6][2][3]
  • Symmediaaninen piste on pisteen isotominen konjugaatti.[3]
  • Symmediaaninen pisteen etäisyydet kolmion sivuista ovat sellaiset, että etäisyyksien neliösumma on pienin mahdollinen. Tällöin myös trilineaaristen koordinaattien neliösumma saa pienimmän arvonsa.[6]
  • Kolmion symmediaaninen piste on samalla symmediaanisen pisteen pedaalikolmion painopiste. Juuri tälle pedaalikolmiolle edellä mainittu neliösumma on pienin.[6][3]
  • Symmediaaninen piste sijaitsee Brocardin akselilla, missä ovat myös muun muassa kolmiota ympäröivän ympyrän keskipiste O (), 1. isodynaaminen piste S (), 2. isodynaaminen piste S' (), Brocardin keskipiste MB () ja noin 140 muuta merkillistä pistettä.[7]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symmediaaneja tutkittiin 1800-luvun lopulla muiden kulmanjakajien ohella. Saksalainen Ernst Grebe huomasi symmediaanien leikkaavan aina toisensa ja julkaisi tuloksen vuonna 1847. Merkillisen pisteen nimesi E. Hain vuonna 1875 Greben pisteeksi. Ranskalainen Emile Lemoine julkaisi joitakin tuloksia antiparalleelisten mediaanien eli symmediaanien ominaisuksita vuonna 1873. Vuonna 1884 J. Neuberg nimesi löydetyn merkillisen pisteen nimeksi Lemoinen pisteeksi. Vaikka pisteen nimenä onkin monissa kielissä Lemoine ja Grebe, tiedetään L'Huilier esitelleen sen jo 1809. Symmediaanin nimen otti käyttöön M. d'Ocagne 1883.[8]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Symmedian Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d e f Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Symmedian (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Matematiikkakilpailut.fi: Nimekästä geometriaa, Matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia
  6. a b c University College Cork: Lemoine Point (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)
  7. Weisstein, Eric W.: Brocard Axis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]