Keskinen kolmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Keskinen kolmio (punainen) muodostetaan yhdistämällä sivujen keskipisteet toisiinsa.

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi.[1] Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.[2]

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään kolmion \scriptstyle \triangle ABC kärjen vastaisia sivuja \scriptstyle a, \, b \, ja \, c ja sivujen keskipisteitä \scriptstyle M_a, \, M_b \, ja \, M_c, jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä \scriptstyle  \triangle M_aM_bM_c. Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä \scriptstyle a'=M_bM_c, \, b'=M_aM_c \, ja \, c'=M_aM_b, jolloin esimerkiksi sivuja \scriptstyle a \, ja \, a', ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

Yhdenmuotoisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskinen kolmio \scriptstyle M_a, \, M_b \, ja \, M_c on yhdenmuotoinen \scriptstyle \triangle ABC kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion \scriptstyle M_a, \, M_b \, ja \, M_c sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion \scriptstyle \triangle ABC sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi \scriptstyle a \, ja \, a'. Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion \scriptstyle \triangle ABC kulmien kanssa.[3][4]

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion \scriptstyle \triangle ABC sivuista

a'=\tfrac{1}{2} a, \ b'=\tfrac{1}{2} b \ ja \ c'=\tfrac{1}{2} c. [3]

Keskisen kolmion pinta-ala \scriptstyle \triangle_{M_aM_bM_c} on

\scriptstyle \triangle_{M_aM_bM_c} = \tfrac{1}{4} \triangle_{ABC}. [3][4]

Kolmion \scriptstyle \triangle ABC ja kärjen \scriptstyle A väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio \scriptstyle \triangle ABC voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala.[3] Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion \scriptstyle \triangle ABC kärjestä, ovat suunnikkaita.[4]

Merkilliset pisteet ja kolmioteoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion \scriptstyle \triangle ABC sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus \scriptstyle X_2 [5]). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion \scriptstyle \triangle ABC keskijanoihin.[6] Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion \scriptstyle \triangle ABC painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.[3][7][4]

Kolmion \scriptstyle \triangle ABC ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus \scriptstyle X_3 [5]).[7] Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion \scriptstyle \triangle ABC yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus \scriptstyle X_{10} [5]).[3][4]

Trilineaarit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

M_a=0 : \tfrac{1}{b} : \tfrac{1}{c}, M_b=\tfrac{1}{a} :0: \tfrac{1}{c} ja M_c=\tfrac{1}{a} : \tfrac{1}{b}:0. [8]

Trilineaarinen matriisi on siksi

\begin{bmatrix} 0 & b^{-1} & c^{-1} \\ a^{-1} & 0 & c^{-1} \\ a^{-1} & b^{-1} & 0 \end{bmatrix}. [3]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  2. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.15
  3. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b c d e Tabirca, Sabin: The Medial Triangle (pdf) York, Irlanti: University College York. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  5. a b c Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  6. Bogomolny, Alexander: The Medians (html) Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  7. a b Ersoz, Asli: Investigation of the Triangle Centers of the Medial Triangle (html) Georgian Yliopisto. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  8. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.14