Keskinen kolmio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Keskinen kolmio (punainen) muodostetaan yhdistämällä sivujen keskipisteet toisiinsa.

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi.[1] Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.[2]

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään kolmion kärjen vastaisia sivuja ja sivujen keskipisteitä , jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä . Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä , jolloin esimerkiksi sivuja , ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

Yhdenmuotoisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskinen kolmio on yhdenmuotoinen kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi . Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion kulmien kanssa.[3][4]

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion sivuista

[3]

Keskisen kolmion pinta-ala on

[3][4]

Kolmion ja kärjen väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala.[3] Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion kärjestä, ovat suunnikkaita.[4]

Merkilliset pisteet ja kolmioteoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus [5]). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion keskijanoihin.[6] Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.[3][7][4]

Kolmion ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus [5]).[7] Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus [5]).[3][4]

Trilineaarit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

, ja [8]

Trilineaarinen matriisi on siksi

[3]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  2. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.15
  3. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b c d e Tabirca, Sabin: The Medial Triangle (pdf) York, Irlanti: University College York. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  5. a b c Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  6. Bogomolny, Alexander: The Medians (html) Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  7. a b Ersoz, Asli: Investigation of the Triangle Centers of the Medial Triangle (html) Georgian Yliopisto. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  8. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.14