Spiekerin piste

Kolmion keskisen kolmion (oranssi) sisällä on sisään piirretty ympyrä (Spiekerin ympyrä), jonka keskipiste on Spiekerin piste (punaiset). Referenssikolmion sisään piirretty ympyrä on sininen.

Spiekerin piste on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste. Se määriteltiin kolmion piirin viivojen eli kolmion muotoisen rautalankakehikon painopisteeksi. Kuvioissa pisteen tunnuksena on usein Sp ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella $\scriptstyle X_{10}$.

kkk

Vaihtoehtoisia määritelmiä

Spiekerin piste voidaan löytää seuraavilla geometrisilla menetelmillä.

Spiekerin piste sijaitsee kolmion keskisen kolmion kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Tämä on sama piste, joka saadaan sijoittamalla keskiseen kolmioon ympyrä, joka sivuaa keskisen kolmion kolmea sivua (katso kuva artikkelin alussa). Ympyrää kutsutaan Spiekerin ympyräksi.

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion piirin kahteen yhtäpitkään osaan, kutsutaan engl. cleavers. Tällaisella janalla sijaitsee kolmion piirin painopiste, ja kolmen tällaisen janan leikkauspiste on Spiekerin piste.

Sijainti kolmiossa

Spiekerin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b)$

ja barysentriset koordinaatit ovat

$(b+c):(c+a):(a+b).$

Ominaisuuksia

• Pisteen Sp isogonaalinen konjugaatti on $\scriptstyle X_{58}$.
• Piste Sp on kollineaarinen kulmanpuolittajien leikkauspisteen I ($\scriptstyle X_{1}$), painopisteen G ($\scriptstyle X_{2}$) ja Nagelin pisteen N ($\scriptstyle X_{8}$) kanssa. Pisteiden keskinäiset etäisyydet ovat ISp = NSp, IG = 2·GSp ja NG = 2·IG. Tätä kutsutaan Nagelin janaksi.

Spiekerin ympyrä

Spiekerin ympyrä (joskus myös engl. Eperson-Spieker circle ) sijaitsee kolmion keskisessä kolmiossa. Se sivuaa keskistä kolmiota kolmelta sivulta. Koska keskinen kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, mutta sen mitat ovat puolet pienempiä, on Spiekerin ympyrän säde puolet pienempi kuin referenssikolmion sisäympyrän säde. Yllä olevan kuvan merkinnöillä

$r={\tfrac {1}{2}}R.$

Historia

Piste Sp on nimetty 1800-luvulla toimineen saksalaisen matemaatikon Theodor Spiekerin kunniaksi.

Aiheesta muualla

• de Villiers, Michael: A generalisation of the Spieker circle and Nagel line, Pythagoras 63, 2006 tai sama (Arkistoitu – Internet Archive)
• Fritsch, Rudolf: Tetraeder und Kugeln (Arkistoitu – Internet Archive), 2000