Spiekerin piste

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmion keskisen kolmion (oranssi) sisällä on sisään piirretty ympyrä (Spiekerin ympyrä), jonka keskipiste on Spiekerin piste (punaiset). Referenssikolmion sisään piiretty ympyrä on sininen.

Spiekerin piste on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste. Se määriteltiin kolmion piirin viivojen eli kolmion muotoisen rautalankakehikon painopisteeksi.[1][2] Kuvioissa pisteen tunnuksena on usein Sp ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella \scriptstyle X_{10}.[3]

kkk[4][5]

Vaihtoehtoisia määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spiekerin piste voidaan löytää seuraavilla geometrisilla menetelmillä.[1]

Spiekerin piste sijaitsee kolmion keskisen kolmion [6] kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Tämä on sama piste, mikä saadaan sijoittamalla keskiseen kolmioon ympyrä, joka sivuaa keskisen kolmion kolmea sivua (katso kuva artikkelin alussa). Ympyrää kutsutaan Spiekerin ympyräksi.[7][8]

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion piirin kahteen yhtäpitkään osaan, kutsutaan engl. cleavers. Tällaisella janalla sijaitsee kolmion piirin painopiste ja kolmen tällaisten janan leikkauspiste on Spiekerin piste.[9][10]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spiekerin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

bc(b+c): ca(c+a): ab(a+b) [3]

ja barysentriset koordinaatit ovat

(b+c) : (c+a) : (a+b) . [3]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spiekerin ympyrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spiekerin ympyrä (joskus myös engl. Eperson-Spieker circle [12]) sijaitsee kolmion keskeisessä kolmiossa. Se sivuaa keskistä kolmiota kolmelta sivulta. Koska keskinen kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, mutta sen mitat ovat puolet pienempiä, on Spiekerin ympyrän säde puolet pienempi kuin referenssikolmion sisäympyrän säde. Yllä olevan kuvan merkinnöillä

r= \tfrac12 R. [8]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Piste Sp on nimetty 1800-luvulla toimineen saksalaisen matemaatikon Theodor Spiekerin kunniaksi.[13]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Honsberger, Ross (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Mathematical Association of America, 3–4. 
  2. Spieker center Viitattu 5 May 2012.
  3. a b c d Kimberling, Clark: Spiekerin piste X10
  4. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.5.2013.
  5. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.5.2013.
  7. Weisstein, Eric W.: Spieker Center (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. a b Weisstein, Eric W.: Spieker Circle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Cleaver (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Weisstein, Eric W.: Cleavance Center (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Weisstein, Eric W.: Nagel Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  12. Bellew, Seamus: The Eperson-Spieker Circle, 1997, ss. 444-447, The Mathematical Gazette
  13. Spieker, Theodor (1888). Lehrbuch der ebenen Geometrie. 

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]