Ortografinen projektio (kartografia)

Ortografinen projektio, keskipiste päiväntasaajalla 150 astetta itäistä pituutta

Ortografinen projektio, keskipiste pohjoisnavalla

Ortografinen projektio on tasoprojektioiden ryhmään kuuluva karttaprojektio. Stereo­grafisen ja gnomonisen projektion tavoin se kuuluu perspektiivisiin projektioihin, joissa pallon­pinta ajatellaan projisoiduksi sitä sivuavalle taso­pinnalle. Ortografisessa projektiossa näkö­pisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana. Se siis näyttää pallonpuoliskon sellaisena kuin se näyttäisi kaukaa avaruudesta katsottuna, jolloin horisonttia vastaa maapallon isoympyrä. Alueiden muodot ja pinta-alat vääristyvät huomattavasti varsinkin kartan reunoilla, mutta mikäli kartan keskipiste on navalla, etäisyydet leveyspiiriä pitkin tulevat kuvatuiksi oikeassa suhteessa.

Historia

Ortografinen projektio tunnettiin jo antiikin aikana, ja sen käyttö kartografiassa on hyvin dokumentoitu. Hipparkhos käytti projektiota 2. vuosi­sadalla eaa. määrittääkseen tähtien nousu- ja laskupaikat. Noin vuonna 14 jaa. roomalainen insinööri Marcus Vitruvius Pollio käytti tätä projektiota rakentaakseen aurinkokelloja ja määrittääkseen auringon aseman.

Vitruvius ilmeisesti myös antoi projektiolle nimen ortografinen, mikä tulee kreikan kielen sanoista orthοos (kreik. ορθος, suora) ja graphē (kreik. γραφη, piirustus). Siitä on kuitenkin käytetty myös nimeä analemma, joka merkitsee leveys- ja pituuspiirit osoittavaa aurinkokelloa, ja tämä nimitys oli yleisesti käytössä, kunnes antwerpenilainen François d'Aguilon otti jälleen käyttöön nykyisen nimen vuonna 1613.

Vanhimmat säilyneet tässä projektiossa tehdyt kartat ovat karttapalloa esittäviä puupiirustuksia vuosilta 1509 (tekijä tuntematon), 1533 ja 1551 (Johannes Schöner) sekä 1524 ja 1551 (Apian). Ne olivat karkea­tekoisia. Paljon tarkemman kartan laati renessanssi­ajan yleisnero Albrecht Dürer, ja se ilmestyi Johannes Stabiuksen toimittamana vuonna 1515.

Avaruus­aluksista käsin otetut valokuvat Maasta ja muista planeetoista ovat viime aikoina tehneet tämän projektion uudelleen suosituksi tähti­tieteessä ja planeettojen tutkimuksessa.

Projektion matematiikka

Ortografisen projektion matemaattiset kaavat voidaan johtaa trigonometrian avulla. Ne voidaan ilmoittaa pallopinnan pisteen leveysasteen (λ) ja pituusasteen (φ) avulla. Oletetaan, että pallon säde on R ja projektion origo on (λ₀, φ₀), toisin sanoen näköpisteen ajatellaan olevan maapallon sen kohdan yläpuolella, jonka leveysaste on λ₀ ja pituusaste φ₀. Tällöin maanpinnan jokainen piste, jonka leveys­aste on λ ja pituus­aste φ, kuvautuu tason pisteeseen x, y , jonka koordinaatit ovat:

${\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big [}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big ]}\end{aligned}}$

Paikkakunnat, joiden etäisyys projektion keski­pisteestä on enemmän kuin puolet maapallon ympärys­mitasta, eivät näy kartassa. Ne voidaan sulkea pois laskemalla kunkin pisteen kulmaetäisyys c tästä keski­pisteestä seuraavasti:

$\cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,$.

Piste ei näy kartassa, jos $\cos(c)$ on negatiivinen.

Käänteiset kaavat ovat:

${\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left[\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right]\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left[{\frac {x\sin c}{\rho \cos \varphi _{0}\cos c-y\sin \varphi _{0}\sin c}}\right]\end{aligned}}$

missä

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin \left({\frac {\rho }{R}}\right)\end{aligned}}$

Jos nämä käänteiset kaavat ohjelmoidaan tietokoneelle esimerkiksi C:llä, C++:lla tai Fortranilla, on suositeltavaa käyttää kahden muuttujan funktiota atan2 arkusfunktioiden asemesta. Tämä takaa, että ortografinen projektio saa kaikissa tapauksissa oikean etumerkin.

Tasoprojektioiden vertailua. Ylärivillä vasemmalta: ortografinen projektio, kolme eri etäisyyksiltä kuvattua perspektiivistä projektiota, gnomoninen projektio, stereografinen projektio sekä eri etäisyyksiltä vastakkaiselta puolelta kuvattua perspektiivistä projektiota. Alarivillä vasemmalla oikeakeskipituinen tasoprojektio.

Ortografinen projektio lieriöpinnalle

Laajemmassa merkityksessä ortografiseksi voidaan sanoa mitä tahansa projektiota, jossa näköpisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana ja projektioviivat sen vuoksi ovat yhdensuuntaisia. Tällä tavoin pallopinta voidaan ajatella projisoiduksi mille tahansa pinnalle, esimerkiksi lieriön pinnalle. Jos tällöin lieriön akseli yhtyy pallon akseliin, saadaan kartta, jossa alueiden muodot vääristyvät vain napojen läheisyydessä. Tällainen karttaprojektio on Lambertin oikeapintainen lieriöprojektio.

Aiheesta muualla

• Orthographic Projection—from MathWorld