Oleellinen supremum ja oleellinen infimum

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä, oleellinen supremum ja oleellinen infimum ovat supremumin ja infimumin käsitteiden yleistyksiä mitallisille funktioille ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen yläraja siten, että se pätee melkein kaikkialla. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on nollamittainen.

Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio , jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään . Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen muodostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen alkukuviin.

Olkoon funktio joukosta reaalilukujen joukkoon. Reaaliluku on funktion yläraja, jos kaikille joukon alkioille pätee , eli toisin sanottuna jos

on tyhjä . Määritellään funktion ylärajojen joukko seuraavasti:

Tällöin funktion supremum määritellään

jos joukko ei ole tyhjä, ja jos on tyhjä.

Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos siten että kaikille , niin sitten .

Oletetaan nyt lisäksi, että on mitta-avaruus, ja että funktio on mitallinen. Reaaliluku on funktion oleellinen yläraja, jos joukko on nollamittainen, eli jos melkein kaikille joukon alkioille pätee . Määritellään funktion oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:

Tällöin oleellinen supremum määritellään[1] (supremumin lailla)

jos ja muuten .

Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos siten että melkein kaikille , niin sitten .[2]

Oleellinen infimum määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:

jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten .

Lebesgue-mitalliselle joukolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon Lebesguen mitan mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon oleellinen supremum (infimum) määritellään inkluusiokuvauksen oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon oleellinen supremum on

ja oleellinen infimum

Terminologiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti ylhäältä rajoitettu. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti alhaalta rajoitettu. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti rajoitettu.lähde?

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos , niin . Jos on nollamittainen, niin ja .[3]
  • aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.[4]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • PlanetMath, Essential supremum Viitattu 1.3.2021. (englanniksi)
  • Dieudonné, J. Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing. Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. PlanetMath
  2. Dieudonne, s. 172
  3. Dieudonne, s. 173
  4. Dieudonne, s. 173

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Essential supremum and essential infimum