Nollamittaisuus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Nollamittaisuus on yksi joukon ominaisuuksista mittateoriassa. Joukko on nollamittainen, jos se voidaan peittää väleillä, joiden yhteenlaskettu pituus on mielivaltaisen pieni.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukko on nollamittainen, jos jokaiselle on olemassa perhe kompakteja välejä siten, että

ja

Tällöin merkitään

Määritelmässä on olennaista peittävien välien numeroituva määrä. Määritelmä asetetaan usein siten, että peittävinä väleinä käytetään avoimia välejä. Rajoitettu väli on nollamittainen, jos ja vain jos se on surkastunut.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nollamittaisilla joukoilla on seuraavat ominaisuudet:

  • Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen.
  • Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen. Niiden ylinumeroituva yhdiste ei sen sijaan välttämättä ole nollamittainen.
  • Jos joukko on nollamittainen ja on rajoitettu, niin tulojoukko on nollamittainen.
  • Jos kompaktin välin funktio on integroituva, niin sen graafi on nollamittainen.
  • Nollamittainen joukko on Lebesgue-mitallinen.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]