Multiplikatiivinen funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lukuteoriassa multiplikatiivisella funktiolla tarkoitetaan funktiota f, jolle kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a ja b pätee f(ab) = f(a) f(b). Jos ehto pätee myös kaikilla luvuilla a ja b jotka eivät ole keskenään jaottomia, sanotaan funktion olevan täydellisesti multiplikatiivinen.

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista, jotka ovat laajalti käytössä lukuteoriassa:

  • \phi(n): Eulerin fii \phi, niiden lukua n pienempien lukujen a lukumäärä, joilla a ja n ovat keskenään jaottomia.
  • \mu(n): Möbiuksen funktion, niiden n:n alkutekijöiden lukumäärä, jotka ovat neliöttömiä. (täydellisesti multiplikatiivinen).
  • syt(n,k): lukujen n ja k suurin yhteinen tekijä, missä k on kiinteä kokonaisluku.
  • d(n): luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärä,
  • \sigma(n): kaikkien n:n positiivisten tekijöiden summa
  • \sigmak(n): divisor function, joka on kaikkien luvun n positiivisten tekijöiden k:nsien potenssien summa. Erikoistapauksina
    • \sigma0(n) = d(n) ja
    • \sigma1(n) = \sigma(n),
  • 1(n): vakiofunktio, määritellään 1(n) = 1 (täydellisesti multiplikatiivinen)
  • Id(n): identtinen funktio, määritellään Id(n) = n (täydellisesti multiplikatiivinen)
  • Idk(n): potenssifunktio, määritelty Idk(n) = nk kaikille luonnollisille luvuille (tai jopa kompleksiluvuille) k (täydellisesti multiplikatiivinen). Erikoistapauksina saadaan
    • Id0(n) = 1(n) ja
    • Id1(n) = Id(n),
  • \epsilon(n): funktio, joka on määritelty \epsilon(n) = 1 jos n = 1 ja = 0 jos n > 1, tunnetaan myös nimellä Dirichlet'n konvoluution multiplikatiivinen yksikkö tai yksikkö; Tämä kirjoitetaan toisinaan muodossa u(n), ettei sitä sekoiteta Möbiuksen funktioon \mu(n).
  • (n/p), Legendren symboli, missä p on kiinteä alkuluku (täydellisesti multiplikatiivinen).
  • \lambda(n): Liouvillen funktio, jonka arvo on niiden alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n. Liouvillen funktio on täydellisesti multiplikatiivinen.
  • \gamma(n), joka määritellään \gamma(n)=(-1)\omega(n), missä additiivinen funktio \omega(n) on erillisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n.
  • Kaikki Dirichlet'n karakteristikat ovat täydellisesti multiplikatiivisia funktioita.

Esimerkki aritmeettisesta funktiosta, joka ei ole multiplikatiivinen on r2(n) - kuinka monella tavalla luku n voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliöiden summana, esimerkiksi

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

ja siten r2(1) = 4 ≠ 1. Tämä osoittaa, että funktio ei ole multiplikatiivinen. Kuitenkin r2(n)/4 on multiplikatiivinen.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.