Multiplikatiivinen funktio

Lukuteoriassa multiplikatiivisella funktiolla tarkoitetaan funktiota f, jolle kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a ja b pätee f(ab) = f(a) f(b). Jos ehto pätee myös kaikilla luvuilla a ja b jotka eivät ole keskenään jaottomia, sanotaan funktion olevan täydellisesti multiplikatiivinen.

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista, jotka ovat laajalti käytössä lukuteoriassa:

• $\phi$(n): Eulerin fii $\phi$, niiden lukua n pienempien lukujen a lukumäärä, joilla a ja n ovat keskenään jaottomia.
• $\mu$(n): Möbiuksen funktio, niiden n:n alkutekijöiden lukumäärä, jotka ovat neliöttömiä. (täydellisesti multiplikatiivinen).
• syt(n,k): lukujen n ja k suurin yhteinen tekijä, missä k on kiinteä kokonaisluku.
• d(n): luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärä,
• $\sigma$(n): kaikkien n:n positiivisten tekijöiden summa
• $\sigma$_k(n): sigmafunktio, joka on kaikkien luvun n positiivisten tekijöiden k:nsien potenssien summa. Erikoistapauksina
  • $\sigma$₀(n) = d(n) ja
  • $\sigma$₁(n) = $\sigma$(n),
• 1(n): vakiofunktio, määritellään 1(n) = 1 (täydellisesti multiplikatiivinen)
• Id(n): identtinen funktio, määritellään Id(n) = n (täydellisesti multiplikatiivinen)
• Id_k(n): potenssifunktio, määritelty Id_k(n) = n^k kaikille luonnollisille luvuille (tai jopa kompleksiluvuille) k (täydellisesti multiplikatiivinen). Erikoistapauksina saadaan
  • Id₀(n) = 1(n) ja
  • Id₁(n) = Id(n),
• $\epsilon$(n): funktio, joka on määritelty $\epsilon$(n) = 1 jos n = 1 ja = 0 jos n > 1, tunnetaan myös nimellä Dirichlet'n konvoluution multiplikatiivinen yksikkö tai yksikkö; Tämä kirjoitetaan toisinaan muodossa u(n), ettei sitä sekoiteta Möbiuksen funktioon $\mu$(n).
• (n/p), Legendren symboli, missä p on kiinteä alkuluku (täydellisesti multiplikatiivinen).
• $\lambda$(n): Liouvillen funktio, jonka arvo on niiden alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n. Liouvillen funktio on täydellisesti multiplikatiivinen.
• $\gamma$(n), joka määritellään $\gamma$(n)=(-1)^$\omega$(n), missä additiivinen funktio $\omega$(n) on erillisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n.
• Kaikki Dirichlet'n karakteristikat ovat täydellisesti multiplikatiivisia funktioita.

Esimerkki aritmeettisesta funktiosta, joka ei ole multiplikatiivinen on r₂(n) - kuinka monella tavalla luku n voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliöiden summana, esimerkiksi

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

ja siten r₂(1) = 4 ≠ 1. Tämä osoittaa, että funktio ei ole multiplikatiivinen. Kuitenkin r₂(n)/4 on multiplikatiivinen.

Katso myös

• Aritmeettinen funktio

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)