Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix)[1] on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alkuperäisen matriisin alkiot niiden alideterminanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vastaluvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.[2]
Liittomatriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi[2] (engl. Adjoint of a matrix),[1] joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konjugaattista transpoosia.
Matriisin A liittomatriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:
.
Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestysnumeroiden summa on pariton, korvataan vastaluvuillaan. Täten saadaan alkuperäisen matriisin A kofaktorimatriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktorimatriisin transpoosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).[2]
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alkuperäisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liittomatriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alkuperäisen matriisin A käänteismatriisi.[2]
2 × 2 -matriisin

liittomatriisi on
.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Käsitellään
-matriisia

Muodostetaan ensin alideterminantit:
,
,
,
,
,
,
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

missä
.
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:



kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) =
det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1.
Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

Lisäksi,


ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

missä
on n×n -yksikkömatriisi.
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

missä luvut
ovat p(t):n kertoimet,

Liittomatriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Adjugate matrix
- Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.
- ↑ a b Daniel N. Lapedes: Dictionary of Physics and Mathematics, s. 18–19. McGraw & Hill, 1980. ISBN 0-07-045480-9.
- ↑ a b c d Esko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 124–125. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.