Liittomatriisi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix)[1] on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.[2]

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi[2] (engl. Adjoint of a matrix),[1] joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:

.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).[2]

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.[2]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

2 × 2 -matriisin liittomatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

2 × 2 -matriisin

liittomatriisi on

.

Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) and adj(adj(A)) = A.

3 × 3 -matriisin liittomatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käsitellään -matriisia

Muodostetaan ensin alideterminantit:
, ,
, ,
, ,
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:


Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

missä

.

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

Lisäksi,

ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

Käänteismatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

missä on n×n -yksikkömatriisi.

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

Karakteristinen polynomi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

missä luvut ovat p(t):n kertoimet,

Jacobin kaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Adjugate matrix

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.
  1. a b Daniel N. Lapedes: Dictionary of Physics and Mathematics, s. 18-19. McGraw & Hill, 1980. ISBN 0-07-045480-9.
  2. a b c d Esko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 124-125. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]