Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix) on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (engl. Adjoint of a matrix), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}$.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [a_ij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.

Esimerkkejä

2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2 × 2 -matriisin

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

liittomatriisi on

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$.

Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) and adj(adj(A)) = A.

3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään $3\times 3$ -matriisia

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

Muodostetaan ensin alideterminantit:
$\left|A_{11}\right| = \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{12}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{13}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right|$
$\left|A_{21}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{22}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{23}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right|$
$\left|A_{31}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{13} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{32}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{11} & a_{13} \end{matrix} \right|$, $\left|A_{33}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \end{matrix} \right|$
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

missä

$\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right)$.

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti: $\left| \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc$

Ominaisuuksia

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

$\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I},$

$\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A}),$

$\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A})$

kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B^-1 det(A)A^-1 = det(AB)(AB)^-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla A^{m - 1} ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}.$

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}.$

Lisäksi,

$\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1},$

$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A}$

ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

$\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I_n \qquad (*)$

missä $\mathbf I_n$ on n×n -yksikkömatriisi.

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

$1 = \det(\mathbf I_n) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}),$

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

$\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}).$

Karakteristinen polynomi

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}),$

missä luvut $p_j$ ovat p(t):n kertoimet,

$p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots + p_{n} t^{n}.$

Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} \det(A)= \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \alpha}\right).$

Lähteet

• Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.