Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix) on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (engl. Adjoint of a matrix), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}$$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}$.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [a_ij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.

Esimerkkejä

2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2 × 2 -matriisin

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}$

liittomatriisi on

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}$$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}$.

Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) and adj(adj(A)) = A.

3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään $3\times 3$$3\times 3$ -matriisia

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

Muodostetaan ensin alideterminantit:
$\left|A_{11}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{11}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{12}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{12}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{13}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{13}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|$
$\left|A_{21}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{21}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{22}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{22}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{23}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{23}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|$
$\left|A_{31}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{13}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{31}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{13}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{32}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{32}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|$, $\left|A_{33}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|$$\left|A_{33}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|$
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

missä

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)$$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)$.

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti: $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=ad-bc$$\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=ad-bc$

Ominaisuuksia

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

$\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} ,$$\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} ,$

$\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ),$$\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ),$

$\mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$$\mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B^-1 det(A)A^-1 = det(AB)(AB)^-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla A^{m - 1} ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}.$$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}.$

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}.$$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}.$

Lisäksi,

$\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},$$\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},$

$\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}$$\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}$

ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} _{n}\qquad (*)$$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} _{n}\qquad (*)$

missä $\mathbf {I} _{n}$$\mathbf {I} _{n}$ on n×n -yksikkömatriisi.

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

$1=\det(\mathbf {I} _{n})=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1}),$$1=\det(\mathbf {I} _{n})=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1}),$

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

$\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ).$$\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ).$

Karakteristinen polynomi

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1}),$$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1}),$

missä luvut $p_{j}$$p_{j}$ ovat p(t):n kertoimet,

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots +p_{n}t^{n}.$$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots +p_{n}t^{n}.$

Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\det(A)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} \alpha }}\right).$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\det(A)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} \alpha }}\right).$

Lähteet

• Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.