Karakteristinen polynomi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että

,

eli

,

missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan

,

missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan matriisin

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

Tämä determinantti on

Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.