Lebesgue–Stieltjes-integraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lebesgue–Stieltjes-integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

,

missä ja ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon , , funktio kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

kaikissa pisteissä olemassa.

Olkoon . Määritellään joukkofunktio kaavalla . Tällöin on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion kanssa.

Mitallisen funktion Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla , eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

.

Funktiota kutsutaan integrandiksi ja funktiota integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma , missä ja ovat kasvavia funktioita . Tällöin määritellään

.

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion Riemannin integraaliksi yli välin :

olettaen, että on Riemann-integroituva.

Jos on derivoituva sekä ja ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

.

Jos funktiolla on epäjatkuvuuskohta pisteessä ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

,

missä on tihentyvä jono välin jakoja, eli , kun .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]