Kvasiryhmä
Kvasiryhmä (quasigroup) on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta G ja siinä määritellystä binäärioperaatiosta *. Magmasta poiketen kvasiryhmässä jakaminen on aina mahdollista. Useimmat kvasiryhmät eivät ole assosiatiivisia. Yksikköalkiollisia kvasiryhmiä kutsutaan luupeiksi (loop).
Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kvasiryhmälle on käytössä kaksi formaalia määritelmää. Toinen määrittelee kvasiryhmän yhdellä binäärioperaatiolla ja toinen kolmella.
Määritelmä 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kvasiryhmä (Q, *) tarkoittaa joukkoa Q ja sellaista siinä määriteltyä *, jolle jokaista joukon Q alkiota a ja b kohti on olemassa yksikäsitteiset joukon Q alkiot x ja y, joille pätee
- a*x = b ,
- y*a = b .
Näiden yhtälöiden yksikäsitteiset ratkaisut kirjoitetaan usein x = a \ b ja y = b / a. Operaatiota \ ja / kutsutaan vasemmalta ja oikealta jakamiseksi (vrt. matriiseilla vasemmalta ja oikealta kertominen).
Määritelmä 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Universaalissa algebrassa kvasiryhmä (Q, *, \, /) on joukko ja siinä määritellyt kolme binäärioperaatiota, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:
- y = x * (x \ y) ,
- y = x \ (x * y) ,
- y = (y / x) * x ,
- y = (y * x) / x .
Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Kokonaisluvut Z ja vähennyslasku muodostavat kvasiryhmän.
Perustelu: Kun a ja b ovat kokonaislukuja, a - x = b ja y - a = b, kun x = a - b ja y = b - (-a). Tämä kvasiryhmä ei ole luuppi: nolla on yksikköalkio vain oikealta, mutta yleisesti 0-a ei ole a.