Korkeus (geometria)

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kolmiolla on aina kolme korkeusjanaa, vaikka kuvassa on merkitty näkyviin vain kaksi. Terväväkulmaisessa kolmiossa korkeusjanojen kantapisteet sijaitsevat kolmion sivuilla, mutta tylppäkulmaisella kolmiolla ne voivat sijaita kolmion kannan jatkeella (katkoviiva).

Korkeus on geometriassa korkeusjanan pituus pisteen ja toisen janan välillä siten, että korkeusjana on kohtisuorassa toista, usein kannaksi kutsuttua, janaa, tai sen jatketta, vastaan. Tällöin sanotaan, että korkeus(jana) on kannan normaali(jana), ja päinvastoin.[1] Janojen kohtaamispistettä kutsutaan kantapisteeksi.[2]

Korkeusjanan monikulmion sivuja suurempi merkitys perustunee pinta-alojen ja tilavuuksien tunnettuihin laskukaavoihin, joissa korkeuden tunteminen on tärkeää. Korkeus on ilmeisesti tärkeä myös siksi, että ihmisen rakentaminen suuntautuu painovoimaa vastaan ja rakenteet ovat pystysuorassa eli kohtisuorassa vaakasuoraa alustaa vastaan.[3][4][5]

Korkeus pinta-ala- ja tilavuuslaskuissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monikulmion pinta-alan määritys voidaan tehdä käyttämällä pelkästään sivujen pituuksia, sekä pituuksia ja kulmia tai sitten sivun pituuksia ja korkeutta.[6] Seuraavassa joitakin tilanteita, joissa korkeuksia käytetään ja miten korkeus näissä tilanteissa on määritelty.

Kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Teräväkulmaisella kolmiolla ABC on kolme normaalia, jotka kulkevat kolmion kärkien kautta ja leikkaavat kolmion sivut tai niiden jatkeet kohtisuorasti. Sivun leikkauspistettä kutsutaan kantapisteeksi. Kuvassa kantapiseet Ha sijaitsee sivulla a = BC, kantapiste Hb sivulla b = AC ja Hc sivulla c = AB. Jana AHa on korkeusjana ja samoin ovat janat BHb ja CHc. Kolmiossa korkeusjanat tai niiden jatkeet leikkaavat aina samassa pisteessä H, jota kutsutaan ortokeskukseksi.

Kolmiolla on kolme eri korkeusjanaa, jotka kulkevat kolmion kärjen ja kantapisteen välissä. Teräväkulmaisella kolmiolla kantapiste sijaitsee aina kolmion sivulla eli kannalla, mutta tylppäkulmaisella kolmiolla jotkin kantapisteet saattavat sijaita sivun eli kannan jatkeella.

Sivujen lisäksi myös kolmion korkeusjanat määrittelevät kolmion yksikäsitteisesti. Jos kahdella kolmiolla on yhtä pitkät korkeusjanat, ovat ne yhtenevät kolmiot.[8]

Ortokolmio ja ortokeskus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion korkeusjanojen kantapisteistä voidaan muodostaa kolmio (tummansininen), jota tutsutaan ortokolmioksi. Sen sisään piirretyn ympyrän keskipiste on sama kuin kolmion ortokeskus.

Korkeusjanat, tai niiden jatkeet, leikkaavat aina yhdessä pisteessä, jota kutsutaan ortosentriksi tai ortokeskukseksi.[9][10][11]

Kantapisteistä voidaan piirtää kolmio, jota kutsutaan ortokolmioksi. Ortokolmion kulmanpuolittajina ovat kolmion korkeusjanat. Ortokolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste on siksi ortokeskuksessa.[12][10][11]

Kolmion ortokeskus H, painopiste G ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O ovat kollineaariset eli sijaitsevat samalla suoralla. Pisteiden välisille etäisyyksille pätee HG = 2·GO.[9][13]

Yleinen kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion pinta-ala voidaan kolmion korkeusjanojen avulla laskea kolmella eri tavalla

[14][15]

Kun R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde, ja kun ja ovat sivujen b ja c vastaiset kulmat, määräytyy kolmiossa sivua a vastaan olevan korkeusjanan pituus lausekkeista

[16]

Tasakylkinen ja -sivuinen kolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasakylkisessä kolmiossa kylkien pituudet ovat b ja kanta a, jolloin kolmion korkeudet ovat

[17]

ja

Tasasivuisessa kolmiossa sivujen pituudet ovat a, jolloin korkeus on aina

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viite[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 104
  2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 10
  3. Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Altitude (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Slant Height (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Math Open Reference: Altitude
  7. Math Open Reference: Trapezoid (Coordinate Geometry)
  8. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 12
  9. a b Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 25
  10. a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 115
  11. a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 116
  12. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
  13. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 118
  14. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 28
  15. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 105
  16. Seppänen, Raimo et al., MAOL (vihreä), s. 28
  17. Weisstein, Eric W.: Isosceles Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)