Brakistokroni

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Brakistokroniongelman ratkaisu maapallon pinnalla ei ole jana tai janojen yhdistelmä vaan sykloidi.

Fysiikassa ja matematiikassa brakistokroni (kreikk. βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos), ''lyhyin aika'') on tason käyrä, jota pitkin liikkuva kappale kulkee kahden pisteen välisen matkan lyhyimmässä ajassa.[1] Oletuksena on, että kappale joutuu kulkemaan tietyn voiman (esimerkiksi painovoima) vaikutuksessa.

Kysymystä siitä, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleelta kuluu vähiten aikaa kahden pisteen välillä, sanotaan brakistokroniongelmaksi. Vakiovoiman vaikutuksessa liikkuvan kappaleen brakistokroniongelman ratkaisi ensimmäisenä Johann Bernoulli vuonna 1696.[2]

Brakistokroniongelma gravitaatiokentässä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Brakistokroniongelma: millainen käyrä yhdistää pisteet ja siten, että kappaleelta kuluu mahdollisimman vähän aikaa pisteiden välillä?

Tarkastellaan -massaista kappaletta, joka sijaitsee aloitushetkellä levossa pisteessä . Kappaleeseen vaikuttaa jokaisella ajanhetkellä gravitaatiovoima , missä on gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys (vektori). Kaikki vastusvoimat oletetaan merkityksettömän pieniksi. Pyritään selvittämään, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleella kuluu lyhyin aika päästä pisteeseen (joka oletettavasti ei sijaitse suoraan pisteen ''alla''). Ratkaisun saavuttaminen vaatii hiukan variaatiolaskentaa.

Kiinnitetään tarkastelua varten kaksiulotteinen koordinaatisto. Voidaan olettaa, että origo sijaitsee pisteessä ja että gravitaatiovoima on -akselin suuntainen. Ts.

Koska gravitaatiokenttä on konservatiivinen, pätee jokaisella ajanhetkellä , missä on kappaleen kineettinen energia ja on potentiaalienergia. Määritellään potentiaalienergian nollatasoksi -akseli, ts. . Koska kappale lähtee levosta, on koko ajan . Kappaleen kineettinen energia on ja potentiaalienergia on (potentiaalienergia on negatiivinen, koska kappaleen lähtökorkeus valittiin nollatasoksi). Tällöin kappaleen nopeus on

.

Aika, joka kappaleelta kuluu kulkea pisteestä pisteeseen on:

missä käytettiin derivaattaa . Nyt pyritään minimoimaan muuttuja . Tähän tarkoitukseen käytetään Eulerin yhtälöä. Määritellään uusi funktio edellisen integraalin integrandina:

.

Eulerin yhtälö antaa välttämättömän ehdon sille, että ajalle on olemassa ääriarvo:[2]

Välttämätön ehto on, että yhtälö (1) toteutuu. Nyt, koska , niin yhtälö (1) sievenee muotoon:

,

mikä on derivaatan laskusääntöjen nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että

,

missä on uusi vakio. Toisaalta

Korotetaan tämä neliöön, jolloin

Yhtälö (2) on differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on:

.

Integraali ratkeaa muuttujanvaihdolla: olkoon uusi muuttuja siten, että

.

Tällöin ja edelleen . Sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja ratkaistaan integraali:

missä on integroimisvakio. Jos integrointivakio asetetaan nollaksi, on tuloksena parametrisoitu käyrä:

Tämä käyrä saadaan kulkemaan pisteen kautta muokkaamalla vakiota . Lähtöpisteessä (origo) .

Eulerin yhtälö osoittaa, että tämä käyrä on :n ääriarvokohta. Kuten dynaamisten systeemien variaatiolaskennassa yleensä,[2] löydettiin tässäkin minimikohta. Ongelmaa ajatellen on selvää, ettei kyseessä voi olla maksimikohta, sillä käyrä voisi olla myös äärettömän pitkä saavuttamatta koskaan pistettä . Näin ollen brakistokroniongelma on ratkaistu.

Sykloidi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sykloidi

Pääartikkeli: Sykloidi

Osoittautuu, että brakistokroniongelman ratkaisukäyrä on sykloidi:

joka syntyy, kun -säteisen ympyrän kehällä oleva piste piirtää ratakäyränsä -tasoon ympyrän vieriessä pitkin -akselia. Parametri kuvaa tässä tapauksessa ympyrän kiertokulmaa lähtöhetkeen nähden. Sykloidi toistuu samanlaisena aina parametrin jaksolla (radiaania).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 211–213. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]