Ampèren laki

Ampèren laki

Ampèren laki on André-Marie Ampèren (1775–1836) havaitsema fysiikan laki. Laki kuvaa sähköjohtimessa kulkevan sähkövirran ja johtimen ympärille muodostuvan magneettikentän matemaattista yhteyttä. Käytännössä, Ampèren lain mukaan, sähkövirta muodostaa kulkiessaan ympärilleen magneettikentän, jonka suunta voidaan määrittää niin sanotun oikean käden säännön mukaan. Muodostuvan magneettikentän suunta riippuu siis sähkövirran suunnasta.

Oikean käden peukalo osoittaa virran suunnan ja muut sormet magneettikentän.

Laki yhdistää suljetun silmukan läpi kulkevan virran ja magneettivuon tiheyden polkuintegraalin silmukan ympäri yhtälöllä. Ampèren laista voidaan päätellä, että virran kasvaessa magneettivuo kasvaa. Ampèren laki on Gaussin sähkökenttälaille analoginen fysiikan laki. Yleistetty Ampèren laki on yksi Maxwellin yhtälöistä.

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$,

missä

• $\mathbf {B}$ on magneettivuon tiheys.
• $\mathrm {d} \mathbf {l}$ on infinitesimaalisen pieni alkio (differentiaali) suljetusta käyrästä $C$.
• $I_{\mathrm {enc} }$ on käyrän $C$ sisäänsä sulkeman alueen läpi kulkeva virta (eli virrantiheyden pintaintegraali).
• $\mu _{0}$ on vapaan avaruuden permeabiliteetti.
• $\oint _{C}$ on polkuintegraali suljettua käyrää $C$ pitkin.

Ampèren laki voidaan esittää myös differentiaalimuodossa yhtälöllä

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$,

missä siis $\nabla \times \mathbf {B}$ on magneettivuon tiheyden roottori ja $\mathbf {J}$ on virtatiheys.

Yleistetty Ampèren laki

James Clerk Maxwell havaitsi loogisen ristiriitaisuuden soveltaessaan Ampèren lakia varautuvaan kondensaattoriin ja siten päätteli tämän lain olevan puutteellinen. Ratkaistakseen ongelman hän keksi kenttämuutosvirran (siirtymävirran) käsitteen ja loi näin yleistetyn version Ampèren laista, joka sisällytettiin Maxwellin yhtälöihin. Yleistetty yhtälö tyhjiössä on:

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }+\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{E}}{\mathrm {d} t}},$

missä $\scriptstyle \Phi _{E}$ on sähkövuo mielivaltaisen, käyrän C rajoittaman pinnan läpi (eli sähkövuon tiheyden pintaintegraali). Stokesin lausetta sekä virrantiheyden ja sähkövuon määritelmää käyttäen laki voidaan kirjoittaa muodossa

$\iint _{A}\nabla \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\mu _{0}\iint _{A}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$,

missä A on käyrän C rajoittama pinta, $\scriptstyle \mathbf {J} _{c}$ on virrantiheys ja $\nabla \times \mathbf {B}$ on magneettivuon tiheyden roottori. Koska integraalimuoto pätee kaikille suljetuille pinnoille, Ampère-Maxwellin laki voidaan kirjoittaa osittaisdifferentiaalimuodossa

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$,

missä yhtälön oikean puolen toinen termi kuvaa kenttämuutosvirtaa. Sen pois jättäminen antaa alkuperäisen Ampèren lain differentiaalisen muodon. Yleensä laki kirjoitetaan magneettikentän voimakkuuden H ja sähkövuon tiheyden D avulla muodossa

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$.

Magneettikentänvoimakkuuden pyörre aiheutuu virrantiheydestä ja sähkövuontiheyden muuttumisesta.

Käytännön sovellukset

Amperén laista on johdettu Biot’n ja Savartin laki, joka kuvaa virta-alkioiden välistä voimavaikutusta. Biot-Savartin lakia voidaan käyttää esimerkiksi kahden virtajohtimen välisen voiman laskemiseen. Käytännössä lakia on sovellettu muun muassa solenoidin ja toroidin käyttöön.

Katso myös

• Maxwellin kenttäyhtälöt
• Gaussin laki sähkökentille
• Biot’n ja Savartin laki

Lähteet

• Grant, I. S. & Phillips, W. R.: ”4.4”, Electromagnetism, 2. painos. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0 (englanniksi)

• Pyrhönen, J. & Nerg, J.: ”1.10”, Sähkömagnetismi. LTKK/Digipaino, 2002. ISBN 951-764-625-9 (suomeksi)
• Ulaby, F. T.: ”6”, Fundamentals of Applied Electromagnetics. Prentice Hall, 2010. ISBN 013-213-931-6 (englanniksi)
• http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=Magnetism_AmperesLaw.xml
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/amplaw.html
• http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/204/Amperes-Law.aspx

Kirjallisuutta

• Lindell, Ismo & Sihvola, Ari: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013. ISBN 978-951-672-354-2