Aliryhmä

Ryhmän $(G,*)$ alkioiden ei-tyhjä osajoukko $H$ muodostaa aliryhmän, mikäli

• $a*b\in H$ kaikilla $a,b\in H$ ja
• $a^{-1}\in H$ kaikilla $a\in H.$

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti $H\leq G.$

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon $H$ ryhmän $(G,*)$ alkioiden osajoukko. Tällöin joukko $H$ on ryhmän $(G,*)$ aliryhmä, mikäli

• joukon $H$ binäärinen operaatio $\star$, joka saadaan asettamalla $a\star b=a*b$ kaikilla $a,b\in H$ on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
• pari $(H,\star )$ on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot $\left\{1\right\}$ ja $G$ ovat aina ryhmän $G$ aliryhmiä. Aliryhmää $\left\{1\right\}$ kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli $H\leq G$ ja $H\not =G$, niin aliryhmää $H$ sanotan aidoksi ja merkitään $H<G.\$

Ominaisuuksia

Olkoon seuraavassa $H\leq G,$ $h\in H$ ja $g\in G.$

• Ryhmän $G\$ neutraalialkio on myös aliryhmän $H\$ neutraalialkio.
• Alkion $h\in H$ käänteisalkio ryhmässä $G\$ on myös sen käänteisalkio aliryhmässä $H.\$
• Tulo $hg\in H$ jos ja vain jos $g\in H.$ Vastaavasti $gh\in H$ jos ja vain jos $g\in H.$
• Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos $K\leq G$, niin

$H\cup K\leq G$ jos ja vain jos $H\leq K$ tai $K\leq H.\$

• Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos $I$ on mielivaltainen indeksijoukko, jolla $H_{i}\leq G$ kaikilla $i\in I$, niin tällöin leikkaus

$\bigcap _{i\in I}H_{i}\leq G.$

• Jos $X\subset G$, niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän $G\$ aliryhmä, joka sisältää joukon $X\$. Tämä aliryhmä on

$\bigcap \{K\leq G|X\subset K\}\$ ja sitä kutsutaan joukon $X\$ generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myös

• Sivuluokka
• Normaali aliryhmä
• Aliryhmäkriteeri
• Lagrangen indeksilause
• Sylowin lauseet

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0