Sylowin lauseet

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia. Lauseet on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Ludwig Sylowin mukaan.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on missä on alkuluku, ja ei jaa lukua

Lause 1. Ryhmällä on kertalukua missä oleva aliryhmä.[1]

Ryhmän Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua olevia aliryhmiä.[2] Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos on kertalukua missä oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän Sylowin p-aliryhmä ja sellainen alkio että Erityisesti ryhmän Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.[3]

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos on ryhmän Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

  • , missä on ryhmän Sylowin p-aliryhmä, erityisesti jakaa tasan luvun [4] ja
  • [5]

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua oleva aliryhmä.

Koska funktio on ryhmäisomorfia kaikilla , niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun ja tulo. Tällöin ryhmä ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että . Olkoon on ryhmän Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku jakaa alkuluvun Jos niin edelleen eli alkuluku jakaa tasan luvun Tämä on ristiriita oletuksen kanssa, joten täytää päteä Täten ryhmän ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä ei ole yksinkertainen.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Humphreys, s. 99
  2. Humphreys, s. 98
  3. Humphreys, s. 101
  4. Humphreys, s. 102
  5. Humphreys, s. 100