Sylowin lauseet

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on missä on alkuluku, ja ei jaa lukua

Lause 1. Ryhmällä on kertalukua missä oleva aliryhmä.

Ryhmän Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua olevia aliryhmiä. Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos on kertalukua missä oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän Sylowin p-aliryhmä ja sellainen alkio että Erityisesti ryhmän Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos on ryhmän Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

  • , missä on ryhmän Sylowin p-aliryhmä, erityisesti jakaa tasan luvun ja

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua oleva aliryhmä.

Koska funktio on ryhmäisomorfia kaikilla , niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun ja tulo. Tällöin ryhmä ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että . Olkoon on ryhmän Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku jakaa alkuluvun Jos niin edelleen eli alkuluku jakaa tasan luvun Tämä on ristiriita oletuksen kanssa, joten täytää päteä Täten ryhmän ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä ei ole yksinkertainen.