Σ-kompakti avaruus

Matematiikassa topologisen avaruuden sanotaan olevan σ-kompakti, jos se on numeroituvan monen kompaktin aliavaruuden yhdiste.

Avaruuden sanotaan olevan σ-paikallisesti kompakti, jos se on sekä σ-kompakti että paikallisesti kompakti.

Ominaisuuksia ja esimerkkejä

• Jokainen kompakti avaruus on σ-kompakti ja jokainen σ-kompakti avaruus on Lindelöf (eli jokaisella avoimella kannella on numeroituva alipeite). Käänteiset implikaatiot eivät päde, esimerkiksi tavallinen euklidinen avaruus (Rⁿ) on σ-kompakti mutta ei kompakti, ja alarajatopologia reaalilukujen joukossa on Lindelöf mutta ei σ -kompakti. Itse asiassa numeroituvan komplementin topologia missä tahansa ylinumeroituvassa joukossa on Lindelöf mutta ei σ-kompakti eikä paikallisesti kompakti. Silti jokainen paikallisesti kompakti Lindelöf-avaruus on σ-kompakti.
• Hausdorff-avaruus, joka on myös Baire-avaruus ja σ-kompakti, on paikallisesti kompakti vähintään yhdessä pisteessä.
• Jos G on topologinen ryhmä ja G on paikallisesti kompakti yhdessä pisteessä, niin G on paikallisesti kompakti kaikkialla. Siksi edellinen ominaisuus kertoo, että jos G on σ -kompakti, Hausdorffin topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus, niin G on lokaalisti kompakti. Tämä osoittaa, että Hausdorffin topologisissa ryhmissä, jotka ovat myös Baire-avaruuksia, σ -kompaktisuus tarkoittaa paikallista kompaktisuutta.
• Edellinen ominaisuus viittaa esimerkiksi siihen, että R^ω ei ole σ-kompakti: jos se olisi σ -kompakti, se olisi välttämättä paikallisesti kompakti, koska R^ω on topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus.
• Jokainen puolikompakti avaruus on σ-kompakti. Käänteinen implikaatio ei päde; esimerkiksi rationaalilukujen joukko tavanomaisella topologialla on σ-kompakti mutta ei puolikompakti.
• Äärellisen määrän σ-kompakteja avaruuksia tulo on σ-kompakti. Kuitenkin äärettömän määrän σ-kompakteja tiloja tulo ei välttämättä ole σ-kompakti.
• σ-kompakti avaruus X on toista kategoriaa (vastaavasti, Baire), jos ja vain jos niiden pisteiden joukko, joissa X on paikallisesti kompakti, on epätyhjä (vastaavasti, tiheä X:ssä).

Katso myös

• Lokaalisti kompakti avaruus
• Lindelöfin avaruus

Lähteet

• Steen, Lynn A. ja Seebach, J. Arthur Jr .; Vastaesimerkkejä julkaisussa Topology, Holt, Rinehart ja Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.