Tulotopologia

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.

Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista. [1] Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

Joukon X tulotopologia on projektioiden Pi: X -> Xi indusoima topologia.[2]

Tulotopologian kannan muodostavat joukot , jossa jokainen Ui on avoin joukossa Xi ja Ui ≠ Xi vain äärellisen monta kertaa.[2]

Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio Pj on jatkuva.[2]

Tulotopologia ja laatikkotopologia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot , missä Uj on mielivaltainen Xj:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.[2]

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot ja , toisen ja , jolloin topologiat ovat ja vastaavasti . Avaruuden kannaksi tulee , ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni .

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rn.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa avoin ei ole esimerkiksi jono . Sen sijaan on avoin.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Erotteluaksioomat
    • T0-avaruuksien tulo on T0-avaruus.
    • T1-avaruuksien tulo on T1-avaruus.
    • T2-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T2-avaruus.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 119–120. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.
  2. a b c d Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-185-7.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.