Neutraalialkio

Joukon $S$ alkio $e$ on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation $*$ suhteen, jos laskutoimituksien tulokset ovat $e * a = a$ tai $a * e = a$. Alkiolla $e$ ei näytä olevan vaikutusta tulokseen eli sen vaiktus on neutraali. Kirjain $e$ tulee saksankielisestä sanasta Einheit.

Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on luku 1, sillä mikä tahansa reaaliluku $a$ kerrottuna yhdellä on luku $a$ itse eli $1 * a = a.$ Tämän vuoksi neutraalialkiota kutsutaan myös kertolaskun yksikköalkioksi eli ykkösalkioksi. Reaalilukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0, koska nollan lisääminen lukuun $a$ on luku $a$ eli $0 + a = a.$ Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös yhteenlaskun nolla-alkioksi.

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon operaatio $*$ joukossa $S$ määritelty binäärioperaatio, jota on tapana merkitä parina $(S,*)$. Neutraalialkiosta voidaan käyttää seuraavia nimityksiä. Joukon $S$ alkio $e$ on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos $e * a = a$ kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla $a$. Samoin, jos $a * e = a$ kaikilla joukkoon $S$ kuuluvilla alkioilla $a$, on $e$ oikeanpuoleinen neutraalialkio.

Jos $(S,*)$ on monoidi, on neutraalialkio sekä vasemman- että oikeanpuoleinen ja sitä kutsutaan molemmanpuoleiseksi neutraalialkioksi tai yksinkertaisesti pelkäksi neutraalialkioksi. Tällöin on voimassa $a * e = e * a =a.$

Esimerkkejä

Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Jos vallan erikoinen laskutoimitus $\star$ määritellään seuraavasti: $\star :\R\times\R \rightarrow \R,$ kun $a\star b=a \ \mbox{kun}\ a,b \in \R.$ Tällöin mikä reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan $a\star 2=a.$ Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä $a\star b=b$ on tilanne päinvastainen.

Joskus ei ole olemassa neutraalialkioita. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista $\{2, 3, 4, 5, ...\}$, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille $(\Z,\heartsuit)$, kun laskutoimitus määritellään $a \heartsuit b = 1 +a\cdot b.$

Jos laskutoimituksella on sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen neutraalialkio, on sen oltava sama alkio. Helppoja esimerkkejä on reaalilukujen nolla-alkio yhteenlaskun tapauksessa ($a + 0 = 0 + a = a$) ja ykkösalkio kertolaskun tapauksessa ($a * 1 = 1 * a = a$). Keksimällä esimerkiksi sellainen laskutoimitus, jossa reaaliluvuilla lasketaan $a \circledcirc b$ siten, että $a \circledcirc b = a + b - 1.$ Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä $a \circledcirc 1 = a + 1 - 1 = a$ ja $1 \circledcirc b = 1 + b - 1 = b.$

Muita esimerkkejä

joukko	binäärioperaattori	neutraalialkio
reaaliluvut	yhteenlasku ( + )	0
reaaliluvut	kertolasku ( · )	1
vektorit	yhteenlasku ( + )	nollavektori
n x n neliömatriisi	yhteenlasku ( + )	nollamatriisi
n x n neliömatriisi	kertolasku ( · )	yksikkömatriisi
kaikki funktiot joukosta M itseensä	yhdistetty funktio ( o )	identiteettifunktio
merkkijonot	yhdistäminen	tyhjä merkkijono
vain kaksi alkiota {e, f}	* määritelty niin että e * e = f * e = e ja f * f = e * f = f	e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota.

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio

Luvun $a$ käänteisalkio $b$ ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion $e$ eli $a*b=e$. Jos parilla $(S,*)$ on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.

Katso myös

• Käänteisalkio
• Magma, Monoidi ja Ryhmä

Aiheesta muualla

• PlanetMath: Grupoid
• Dr. Claire Wladis: The Identity Property
• Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets