Trigonometriset integraalit

Trigonometriset integraalit ovat joukko trigonometrisia funktioita sisältäviä integraaleja, joita ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja siksi niitä pidetään omina funktioinaan.

Sini-integraali

Sini-integraali (engl. sine integral) määritellään

$\mathrm{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}dt$.

Tätä funktiota vastaava Taylorin sarjakehitelmä on

$\mathrm{Si}(x) = \frac{x}{1\cdot1!} - \frac{x^3}{3\cdot3!} + \frac{x^5}{5\cdot5!} - \frac{x^7}{7\cdot7!} + \ldots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}x^{2k+1}$,

missä $!$ tarkoittaa kertomaa. Sini-integraali on pariton funktio, sillä

$\mathrm{Si}(-x) = -\mathrm{Si}(x)\,$.

Kosini-integraali

Kosini-integraali (engl. cosine integral) muistuttaa jonkin verran edellistä:

$\mathrm{Ci}(x) = \int_x^\infty \frac{\cos t}{t}dt$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös integraalina nollasta $x$:ään

$\mathrm{Ci}(x) = -\gamma - \ln x + \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}dt$,

missä $\gamma$ on Eulerin–Mascheronin vakio ja arvoltaan likimain 0,57721. Kosini-integraalifunktiota ei vastaa varsinainen Taylorin sarja, mutta jälkimmäisen esitysmuodon integraalille voidaan kirjoittaa sarjakehitelmä

$\mathrm{Ci}(x) = -\gamma - \ln x + \frac{x^2}{2\cdot2!} - \frac{x^4}{4\cdot4!} + \frac{x^6}{6\cdot6!} - \frac{x^8}{8\cdot8!} + \ldots = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{2k(2k)!}$.

Katso myös

• eksponentti-integraali
• sinc-funktio

Aiheesta muualla

• Mathworld: Sini-integraali (englanniksi)
• Mathworld: Kosini-integraali (englanniksi)