Rollen lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Rollen lauseen havainnollistus.

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä \scriptstyle [a,b] jatkuvan ja avoimella välillä \scriptstyle (a,b) derivoituvan funktion derivaatta saa arvon \scriptstyle 0 jossain avoimen välin \scriptstyle (a,b) pisteessä \scriptstyle c, mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin \scriptstyle [a,b] päätepisteissä \scriptstyle a ja \scriptstyle b. Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

f(a)=f(b) \quad \Longrightarrow \quad \exists\ c\in (a,b): f'(c)=0.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletuksen nojalla funktio \scriptstyle f on jatkuva välillä \scriptstyle [a,b], joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä \scriptstyle a ja \scriptstyle b, niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta \scriptstyle f'(x)=0 jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin \scriptstyle (a,b) pisteessä \scriptstyle x. Osoitetaan, että tässä pisteessä \scriptstyle f'(x)=0. Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos \scriptstyle y<x, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

 \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0,

sillä osoittaja on positiivinen, koska \scriptstyle f(x) on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska \scriptstyle x-y>0. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

 \lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0.

Tämä perustuu siihen, että funktio \scriptstyle f on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos \scriptstyle y>x, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

 \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0,

sillä osoittaja on positiivinen, koska \scriptstyle f(x) on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska \scriptstyle x-y<0. Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

 \lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0.

(iii) Koska funktio \scriptstyle f on derivoituva pisteessä \scriptstyle x, niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

 f'(x) = 0.

Kun merkitään \scriptstyle x=c, niin todistus on päätöksessään. \scriptstyle \square

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.