Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus Cauchyn väliarvolauseesta. Sen mukaan suljetulla välillä [a, b] jatkuvan ja avoimella välillä ]a, b[ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon 0 jossain pisteessä avoimen välin ]a,b[ pisteessä c mikäli funktio saa välin [a, b] päätepisteissä a ja b saman arvon. Formaalisti:

$f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c\in ]a,b[ : f'(c) = 0$

Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lausetta käytetään todistamaan Cauchyn väliarvolause.

Todistus

Koska oletuksen mukaisesti f on jatkuva välillä [a, b], se saa Weierstrassin lauseen mukaan suurimman ja pienimmän arvon tällä välillä. Jos nämä molemmat saavutetaan välin päätepisteissä a ja b, kyseessä on vakiofunktio ja f ' (x) = 0 jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että maksimi saavutetaan välin ]a, b[ pisteessä x. Osoitetaan, että f ' (x) = 0. Käsittelemme erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(1) Jos y < x, erotusosamäärälle pätee

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0$

sillä osoittaja on positiivinen, onhan f(x) suurin arvo; samoin nimittäjä koska x - y > 0. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee

$lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0$

Tämä siksi, että f on derivoituva: sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(2) Jos y > x, on

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0$

sillä osoittaja on positiivinen, onhan f(x) suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen. Siten

$lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0$

Koska f on derivoituva pisteessä x, ovat vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot yhtä suuret. Tämä toteutuu vain, kun kummatkin raja-arvot ovat nollia. Siis

$f'(x) = 0$

□

Katso myös

• Jatkuvien funktioiden väliarvolause