Rollen lause

Rollen lauseen havainnollistus.

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä $\scriptstyle [a,b]$ jatkuvan ja avoimella välillä $\scriptstyle (a,b)$ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon $\scriptstyle 0$ jossain avoimen välin $\scriptstyle (a,b)$ pisteessä $\scriptstyle c$, mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin $\scriptstyle [a,b]$ päätepisteissä $\scriptstyle a$ ja $\scriptstyle b$. Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

$f(a)=f(b) \quad \Longrightarrow \quad \exists\ c\in (a,b): f'(c)=0.$

Todistus

Oletuksen nojalla funktio $\scriptstyle f$ on jatkuva välillä $\scriptstyle [a,b]$, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä $\scriptstyle a$ ja $\scriptstyle b$, niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta $\scriptstyle f'(x)=0$ jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin $\scriptstyle (a,b)$ pisteessä $\scriptstyle x$. Osoitetaan, että tässä pisteessä $\scriptstyle f'(x)=0$. Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos $\scriptstyle y<x$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0,$

sillä osoittaja on positiivinen, koska $\scriptstyle f(x)$ on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska $\scriptstyle x-y>0$. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

$\lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ge 0.$

Tämä perustuu siihen, että funktio $\scriptstyle f$ on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos $\scriptstyle y>x$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0,$

sillä osoittaja on positiivinen, koska $\scriptstyle f(x)$ on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska $\scriptstyle x-y<0$. Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

$\lim_{y \to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \le 0.$

(iii) Koska funktio $\scriptstyle f$ on derivoituva pisteessä $\scriptstyle x$, niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

$f'(x) = 0.$

Kun merkitään $\scriptstyle x=c$, niin todistus on päätöksessään. $\scriptstyle \square$

Katso myös

• Jatkuvien funktioiden väliarvolause