Weierstrassin lause

Weierstrassin lause on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon.

Olkoon f: [a, b] → R jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että välillä [a, b] on luvut c ja d siten, että kaikilla välin pisteillä $x \in [a, b]$ funktion arvo pysyy arvojen f(c) ja f(d) välissä. Matemaattisesti

$\exists c, d \in [a,b]: \forall x \in [a,b]: f(c) \le f(x) \le f(d)$.

Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.

Virheellinen todistus

Todistetaan, että jatkuva funktio f: [a, b] → R saa suurimman arvon suljetulla välillä [a, b]. Pienimmän arvon olemassaolon todistus on samankaltainen. Todistetaan ensin, että funktio f on ylhäältä rajoitettu: tämän tuloksen avulla saadaan todistettua itse lause.

Lause: Suljetulla välillä jatkuva funktio f on ylhäältä rajoitettu eli on olemassa M, jolle $f(x) \le M \forall x \in [a, b]$.

Todistus: Määritellään joukko X = { x $\in$ [a, b] | f on ylhäältä rajoitettu välillä [a, x] }. Koska funktio on jatkuva, tulee olla $f(a) = \lim_{x \to a+}f(x)$. Olkoon ε > 0. Tällöin funktion raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen luku δ > 0, että $\left| f(x) - f(a) \right| < \epsilon$, kun $x \in \left( a, a + \delta \right)$. Joukko X on siten epätyhjä, koska f on nyt ylhäältä rajoitettu ainakin välillä [a, a + δ] (1). Toisaalta joukko X on rajoitettu, koska väli [a, b] on rajoitettu. On siis olemassa c = supX.

Todistetaan nyt, että ei voi olla c < b, jolloin on oltava c = b ja saadaan funktio ylhäältä rajoitetuksi koko välillä [a, b]. Tehdään vastaoletus: c < b (c > a eli a < c < b). Koska funktio on jatkuva, tulee olla $f(c) = \lim_{x \to c}f(x)$. Olkoon Ε > 0. Tällöin funktion raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa luku Δ > 0 siten, että $\left| f(x) - f(c) \right| < \Epsilon$, kun $0 < \left| c - x \right| < \Delta$. Tämä on kuitenkin ristiriita, koska nyt löytyy luku $y = c + \frac {\Delta}{2} > c$ siten, että $y \in X$ eikä voikaan olla c = supX. Vastaoletus on väärä: ei voi olla c < b. Tällöin on oltava c = b eli $b \in X$ (2). Siis f on ylhäältä rajoitettu koko välillä [a, b].

On siis olemassa supremum M = sup $\left\{ f(x) | x \in [a, b] \right\}$. Jos f(c) = M, niin f(c) on etsitty suurin arvo. Toisaalta $f(x) \le M$ kaikilla $x \in [a, b]$. On siis osoitettava, että ei voi olla f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x.

Todistus: tehdään vastaoletus f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x. (3)

Nyt M – f(x) > 0 kaikilla $x \in [a, b]$. Tutkitaan funktiota $g(x) = \frac {1}{M - f(x)} > 0$ kaikilla $x \in [a, b]$, joka on määritelty tällä välillä. Koska f(x) on jatkuva funktio, myös g(x) on jatkuva. Käytetyn lauseen (Lause) nojalla myös funktion g(x) tulisi olla ylhäältä rajoitettu välillä [a, b]. Olkoon K = sup $\left\{ g(x) | x \in [a, b] \right\}$ (K > 0). Tällöin siis $g(x) \le K$ kaikilla $x \in [a, b]$. Siis $\frac{1}{g(x)} \ge \frac{1}{K} \Leftrightarrow M - f(x) \ge \frac{1}{K} \Leftrightarrow f(x) \le M - \frac{1}{K}$ kaikilla $x \in [a, b]$. Tämä on kuitenkin ristiriita, koska M on joukon $\left\{ f(x) | x \in [a, b] \right\}$ pienin yläraja: lukua M pienempi luku $M - \frac{1}{K}$ ei voi olla joukon yläraja. Siis g(x) ei voi olla ylhäältä rajoitettu, mikä on ristiriidassa käytetyn lauseen (Lause) kanssa. Vastaoletus on väärä.

Ei siis voi olla f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x. Koska kuitenkin $f(x) \le M$ kaikilla $x \in [a, b]$, on olemassa jokin piste c, jossa f(c) = M eli jossa funktio f saa suurimman arvon. □

Kohdat, joissa perustelu ontuu:

(1) Joukon X määritelmän mukaan välin, jolla funktion f on rajoitettu, pitää olla suljettu. Pisteen a avoin $\delta$ -ympäristö eli U(a, $\delta$ ) on tietenkin avoin eikä näin ollen suljettu. Merkinnöissä tapahtuu myös virheitä, sillä ensin funktion f todetaan olevan rajoitettu avoimella välillä. Sitten väitetään, että näin ollen f on rajoitettu myös välin päätepisteissä.

(2) Tässä on oletettu, että joukon X supremum eli c=b kuuluu joukkoon. Näin ei välttämättä aina ole, kuten joukon {x $\in$ R | $x^2<2$} tapauksessa käy.

3) Kvanttorin negaatiota tehdessä on käynyt virhe.

Aiheesta muualla

• Extreme value theorem (cut-the-knot) (englanniksi)