Radon-mitta

Radon-mitat ovat lokaalisti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa tärkeä mittatyyppi. Radon-mitat ottavat huomioon erityisesti avaruuden topologian niin, että Radon-mitan antama arvo vastaa enemmän intuitiivista tulkintaa koosta. Tärkeitä Radon-mittoja ovat mm. Lebesguen mitta, Hausdorffin mitat ja Haarin mitta.

Määritelmä

Olkoon $(X,\mathcal{T})$ lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus ja $\mu$ Borel-mitta X:ssä. Nyt $\mu$ on Radon-mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. $\mu (K) < \infty$ kaikilla kompakteilla $K \subset X$.
2. $\mu (U) = \sup \{ \mu (K) : K \subset U \mbox{ ja } K \subset X \mbox{ kompakti} \}$ kaikilla avoimilla $U \subset X$.
3. $\mu (B) = \inf \{ \mu (U) : B \subset U \mbox{ ja } U \subset X \mbox{ avoin} \}$ kaikilla Borel-joukoilla $B \subset X$.

Sovelluksia

• Frostmanin lemma
• Mittojen heikko suppeneminen
• Rieszin esityslause