Rieszin esityslause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Funktionaalianalyysissä on useita Rieszin esityslauseita.

Hilbertin avaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

f on rajoitettu lineaarinen funktionaali Hilbertin avaruudessa X jos ja vain jos on olemassa yksikäsitteinen vektori y\in X jolle f_y(x) = \langle x,y\rangle kaikilla x\in X. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että X:n konjugaattiavaruudelle \tilde{X} on voimassa \tilde{X}=\{f_y(x)=(x,y)|y\in X\}.

Lineaaristen funktionaalien esityslause Cc(X):ssä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja Cc(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos

  • μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;
  • Kaikilla Borel-joukoilla E,
 \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ avoin}\}
  • Ehto
 \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ kompakti}\}

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa Cc(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

 \psi(f) = \int_X f(x) \, d \mu(x) \quad

kaikilla Cc(X)-funktioilla f.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bachman, Narici: Functional analysis