Q-analogia

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

q-analogia on matematiikan osa-alue, joka muistuttaa tavallista analyysiä, mutta perustuu hieman erilaiseen määritelmään. q-analogiassa saadaan monia normaalia tutunnäköisiä tuloksia, mutta tavallisten funktioiden q-analogioiden ominaisuudet ovat yleensä hieman totutusta poikkeavia. q-analogiassa keskeinen suure on kompleksiluku q, joka valitaan siten, että |q| < 1.

Eulerin–Jacksonin operaattori eli q-derivaatta on eräs tapa määritellä derivaatan diskreetti vastine. q-derivaatta, joka operoi funktioon f(x), määritellään erotusosamääränä

D_q f(x) = \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}.

Helposti nähdään, että kun tässä q \to 1 niin q-derivaatan määritelmä lähestyy tavallisen derivaatan määritelmää.

Tämän q-derivaatan avulla voidaan määritellä differentiaaliyhtälöiden diskreettejä vastineita, q-differenssiyhtälöitä. Tällaisen yhtälön yleinen muoto on

F(y(z), y(qz), \ldots, y(q^kz);q,z) = 0\;,

missä z ja q ovat kompleksilukuja. Kun derivaatan lisäksi määritellään vielä q-siirto -operaattori

T_q^n f(x) = f(q^nx)

saadaan määriteltyä kokonainen q-derivaattaan perustuva analyysin vastine.

Usein vastaantulevia merkintöjä ovat nk. q-sulkeet

[n]_q = \frac{1 - q^n}{1 - q}

sekä q-kertoma

[n]_q! = [1]_q [2]_q \ldots [n]_q

joiden avulla kirjoitettuna q-analogian lausekkeet muistuttavat normaalin analyysin vastaavia. Erityisesti kannattaa huomata, että

\lim_{q\to 1} [n]_q = n,

joten q-kertoma on täsmälleen analoginen tavallisen kertoman kanssa.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.