Q-analogia

q-analogia on matematiikan osa-alue, joka muistuttaa tavallista analyysiä, mutta perustuu hieman erilaiseen määritelmään. q-analogiassa saadaan monia normaalia tutunnäköisiä tuloksia, mutta tavallisten funktioiden q-analogioiden ominaisuudet ovat yleensä hieman totutusta poikkeavia. q-analogiassa keskeinen suure on kompleksiluku q, joka valitaan siten, että $|q| < 1$.

Eulerin–Jacksonin operaattori eli q-derivaatta on eräs tapa määritellä derivaatan diskreetti vastine. q-derivaatta, joka operoi funktioon f(x), määritellään erotusosamääränä

$D_q f(x) = \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}$.

Helposti nähdään, että kun tässä $q \to 1$ niin q-derivaatan määritelmä lähestyy tavallisen derivaatan määritelmää.

Tämän q-derivaatan avulla voidaan määritellä differentiaaliyhtälöiden diskreettejä vastineita, q-differenssiyhtälöitä. Tällaisen yhtälön yleinen muoto on

$F(y(z), y(qz), \ldots, y(q^kz);q,z) = 0\;$,

missä z ja q ovat kompleksilukuja. Kun derivaatan lisäksi määritellään vielä q-siirto -operaattori

$T_q^n f(x) = f(q^nx)$

saadaan määriteltyä kokonainen q-derivaattaan perustuva analyysin vastine.

Usein vastaantulevia merkintöjä ovat nk. q-sulkeet

$[n]_q = \frac{1 - q^n}{1 - q}$

sekä q-kertoma

$[n]_q! = [1]_q [2]_q \ldots [n]_q$

joiden avulla kirjoitettuna q-analogian lausekkeet muistuttavat normaalin analyysin vastaavia. Erityisesti kannattaa huomata, että

$\lim_{q\to 1} [n]_q = n$,

joten q-kertoma on täsmälleen analoginen tavallisen kertoman kanssa.