Langlandin ohjelma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Langlandin ohjelma on joukko otaksumia, jotka yhdistävät lukuteoria ja ryhmien esitysteoriaa ryhmiä koskeviin tuloksiin. Robert Langland julkaisi ohjelmansa 1967.

Yhteys lukuteoriaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Langlandin ohjelman voidaan katsoa alkaneeksi, kun Artin julkaisi resiprositeettilakinsa, joka yleistää neliönjäännöslausetta. Artinin resiprositeettilaki koskee algebrallisia lukukuntia joiden Galois'n ryhmä kunnassa Q on Abelin ryhmä, antaa L-funktioille yksiulotteisen esityksen Galois'n ryhmänä ja väittää, että nämä L-funktiot ovat identtisiä Dirichlet'n L-sarjojen kanssa (siis analogisia Dirichlet'n karakteristikoista tehdyn Riemannin zeeta-funktion kanssa).

Galois'n ryhmille, jotka eivät ole Abelin ryhmiä, voidaan myös määrittää L-funktiot luonnollisella tavalla: Artinin L-funktioiden avulla

Esitys automorfimuotojen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Langlandin tavoitteena oli löytää kunnollinen yleistys Dirichlet'n L-funktioille, jotka voisivat yleistää Artinin lauseen.

Hecke oli aiemmin löytänyt yhteyden Dirichlet'n L-funktioiden ja automorfimuotojen (holomorfinen funktio kompleksitason ylemmässä puolitasossa, jotka toteuttavat tiettyjä funktionaaliyhtälöitä) välille. Langland yleisti nämä automorfisiksi kärkiesityksiksi, jotka ovat eräänlaisia ryhmän GLn ääretönulotteisia jaottomia esityksiä adelen renkaan Q suhteen. (Tästä renkaasta nähdään kaikki Q:n täydellistymät p-aditisten lukujen avulla.)

Langland liitti L-funktioita näihin automorfiesityksiin ja otaksui, että jokainen lukukunnan Galois'n ryhmän äärellisulotteinen esityksen Artinin L-funktio on sama kuin automorfinen esitys. Tämä tunnetaan resiprositeetti-otaksumana.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.