Adelen rengas

Lukuteoriassa adelen rengas on topologinen rengas, joka on rakennettu joko rationaalilukujen kunnan päälle tai yleisemmin algebrallisen lukukunnan päälle. Se sisältää kaikki kyseisen kunnan täydellistymät.

Sana adele on lyhenne sanoista additiivinen idele. Adeleita kutsuttiin ennen valuaatiovektoreiksi tai uudelleenosituksiksi ennen 1950-lukua.

Määritelmät

Kokonaislukujen proäärellinen täydellistymä ${\hat {\mathbb {Z} }}$ on käänteinen raja-arvo renkaista $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$:

${\hat {\mathbb {Z} }}=\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

Kiinalaisen jäännöslauseen mukaan se on isomorfinen kaikkien p-adisten lukujen renkaiden tulon

${\hat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$

kanssa.

Kokonaisadeleiden rengas A_Z on tulo

$\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }=\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }}$

Rationaaliadeleiden rengas A_Q on tensoritulo

$\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} \otimes \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }$

(topologisoitu siten, että A_Z on avoin alirengas). Yleisemmin adeleiden rengas A_K, missä K on mielivaltainen algebrallinen lukukunta, on tensoritulo

$\mathbb {A} _{\mathbb {K} }=\mathbb {K} \otimes \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }$

(topologia annettu ottamalla tulo A_Q:sta deg(K) kertaa).