Heinen–Borelin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Heinen–Borelin lause on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heine ja Émile Borel mukaan.

Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.[1]

Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin \mathbb{R}^n. Jos S jokin \mathbb{R}^n:n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:

Todistus avaruudessa Rn[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompakti joukko on suljettu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon S kompakti joukko joka ei ole suljettu. Tällöin on olemassa kasautumispiste a, joka ei kuulu joukkoon S. Valitaan peite  C=\bigcup_{\{x \in S\} } B_x , missä jokainen Bx on pisteen x ympäristö, joka on erillinen jostakin pisteen a ympäristöstä. Olkoon C1 jokin tämän peitteen äärellinen osapeite. Kuitenkin nyt löytyy jokaista  B_x\in C_1 kohti pisteen a ympäristö  B^1_x, joka ei leikkaa joukkoa Bx. Näiden ympäristöjen leikkaus \bigcap B^1_x sisältää pisteen b \in S, mutta b\notin \bigcup C_1. Siis C_1 ei ole joukon S peite. Tämä on ristiriita ja täten väite on tosi.

Kompakti joukko on rajoitettu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Valitaan kompaktille joukolle S peite C=\{B(x,2) : x \in Z^n\}. Tällöin on olemassa äärellinen peite  C\subset C^1. Joukon S halkaisijaa voidaan arvioida ylöspäin seuraavasti:

 d(S) \le d(\bigcup C^1)\le \sum_{B\in C^1} 2 \le \infty .

Siis S on rajoitettu.

Kompaktin joukon suljettu osajoukko on kompakti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon S kompaktin joukon T suljettu osajoukko, jonka kompelementti U on avoin ja C joukon S avoin peite. Tällöin peite  C^1 = C \cup \{U\} on joukon T avoin peite. Kompaktiuden nojalla löytyy joukon T peite C2, joka on peitteen C2 osapeite. Peite C \setminus \{U\} on peitteen C avoin, äärellinen osapeite.

Suljettu ja rajoitettu joukko on kompakti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon S rajoitettu ja suljettu osajoukko avaruudessa Rn. Nyt S on osajoukko jossakin joukosta

 T_0 = [-a, a]^n

Yllä todetun nojalla riittää osoittaa, että T0 on kompakti.

Oletetaan, että T0 ei ole kompakti. Tällöin on olemassa avoin peite C, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Jakamalla jokainen sivu kahtia saadaan 2n pienempää n- laatikkoa, joista vähintään yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Kutsutaan yhtä tällaisista joukoista nimellä T1. Vastaavasti laatikon T1 sivut voidaan halkaista, mistä saadaan 2n pienempää n-laatikkoa, joista yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Annetaan tälle joukolle nimi T1. Tällä tavalla jatkamalla saadaan jono suljettuja n-laatikoita, joista jokainen sisältyy jonon aikaisempiin jäseniin.

 T_0 \supset T_1 \supset T_2 \supset \ldots \supset T_k \supset \ldots

Tässä joukon Tk sivun pituus (2 a) / 2k lähestyy lukua 0, kun k kasvaa rajatta.


Cantorin leikkauksen avulla nähdään että ääretön leikkaus

 T_0 \cap T_1 \cap T_2 \cap \ldots \cap T_k \cap \ldots

on epätyhjä ja siis sisältää pisteen p ∈ T0. Koska C peittää joukon T0, se sisältää avoimen joukon U, jolle pätee p ∈ U ∈ C. Koska U jonkin kuulan B(p) ⊆ U. Nyt voidaan valita k siten että TkB(p) ⊆ U. Tällöin kuitenkin joukolla Tk on peitteen C äärellinen osapeite \{U\}, mikä on ristiriita.

Siten T on kompakti, mistä seuraa, että S on kompakti.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 1, s. 97-98. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.