Harmoninen sarja

Harmoninen sarja on matematiikassa ääretön sarja : $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!$

Se on saanut nimensä musiikissa ilmenevien ääniaaltojen aallonpituuksien suhteesta. Harmonisen sarjan jokainen jäsen on sen viereisten jäsenten harmoninen keskiarvo.

Harmonisen sarjan osasummista ainoastaan ensimmäinen, 1, on kokonaisluku. Harmonisen sarjan osasummia kutsutaan harmonisiksi luvuiksi.

Harmonisen sarjan hajaantuminen

Harmoninen sarja hajaantuu, tosin varsin hitaasti: jotta sarjan summa ylittäisi luvut 1, 2, 3, 4, ... tarvitaan 1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1674, 4550, 12367, ... termiä (A004080 OEIS:ssä). Luvun 100 ylittämiseen tarvitaan yli $10^{43}$ termiä, tarkalleen 15092688622113788323693563264538101449859497.

Sarjan hajaantuminen voidaan osoittaa tarkastelemalla harmonista sarjaa erään toisen varmasti hajaantuvan sarjan kanssa:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\cdots .\end{aligned}}$

Ääretön sarja 1/2+1/2+1/2... hajaantuu varmasti, ja on helppo nähdä, että harmonisen sarjan $2^{k}\!\$:n ensimmäisen termin summa on aina vähintään $1+{\frac {k}{2}}$.

Harmonisen sarjan n ensimmäisen termin summa $H_{n}\!\$ on

$\gamma +\psi _{0}(n+1)\!\$,

jossa $\gamma \!\$ on Eulerin-Mascheronin vakio ja $\psi _{0}(x)\!\$ on digammafunktio.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Pekka Alestalo: Tiiliä pinoon. (alaotsikko Vinoon menee) Matematiikkalehti Solmu, 2010, nro 2, s. 27-29. Helsinki: Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto. ISSN 1458-8048. Artikkelin verkkoversio (PDF). Viitattu 15.11.2010.