Harmoninen sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Harmoninen sarja on matematiikassa positiivisten ääretön sarja : \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\![1]

Se on saanut nimensä musiikissa ilmenevien ääniaaltojen aallonpituuksien suhteesta. Harmonisen sarjan jokainen jäsen on sen viereisten jäsenten harmoninen keskiarvo.

Harmonisen sarjan osasummista ainoastaan ensimmäinen, 1, on kokonaisluku. Harmonisen sarjan osasummia kutsutaan harmonisiksi luvuiksi.

Harmonisen sarjan hajaantuminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Harmoninen sarja hajaantuu, tosin varsin hitaasti: jotta sarjan summa ylittäisi luvut 1, 2, 3, 4, ... tarvitaan 1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1674, 4550, 12367, ... termiä (A004080 OEIS:ssä). Luvun 100 ylittämiseen tarvitaan yli 10^{43} termiä, tarkalleen 15092688622113788323693563264538101449859497.

Sarjan hajaantuminen voidaan osoittaa tarkastelemalla harmonista sarjaa erään toisen varmasti hajaantuvan sarjan kanssa:


\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad +\cdots.
\end{align}

Ääretön sarja 1/2+1/2+1/2... hajaantuu varmasti, ja on helppo nähdä, että harmonisen sarjan 2^k\!\ :n ensimmäisen termin summa on aina vähintään 1+\frac{k}{2}.

Harmonisen sarjan n ensimmäisen termin summa H_n\! \ on

\gamma+\psi_0(n+1)\!\ ,

jossa \gamma\!\ on Eulerin-Mascheronin vakio ja \psi_0(x)\!\ on digammafunktio.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 1308. , 2003.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pekka Alestalo: Tiiliä pinoon. (alaotsikko Vinoon menee) Matematiikkalehti Solmu, 2010, nro 2, s. 27-29. Helsinki: Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto. ISSN 1458-8048. Artikkelin verkkoversio (PDF) Viitattu 15.11.2010.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.