Hajaantuva sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hajaantuva sarja määritellään matematiikassa äärettömänä, ei-suppenevana sarjana. Tämä tarkoittaa, ettei äärettömien lukujonojen sarjojen osasummilla ole raja-arvoa.

Sarja voi supeta vain, jos sen yksittäiset jäsenet lähestyvät nollaa. Toisin sanoen kaikki sarjat, joiden yksittäiset jäsenet eivät lähesty nollaa, hajaantuvat. Kuitenkaan eivät kaikki sellaisetkaan sarjat, joiden termit lähestyvät nollaa, suppene. Yksinkertaisin vastaesimerkki on harmoninen sarja.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.

Nicole Oresme todisti harmonisen sarjan hajaantumisen jo keskiajalla.

Joissakin erityistapauksista sarjoille löytyy valmiiksi ratkaistu raja-arvo. Esimerkiksi Cesàron summa yhdistää Grandin hajaantuvan sarjan

1 - 1 + 1 - 1 + \cdots

lukuarvoon ½ . Cesàron summaa käytettään sarjojen jatkuvuutta arvioidessa. •

Hajaantuvien sarjojen summien teoreemat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Summa- eli summausmenetelmää voidaan kutsua säännölliseksi, mikäli se on yhtenevä suppenevan sarjan ehtojen kanssa. Säännöllistä summamenetelmää voidaan kutsua Abelin teoreemaksi. Alfred Tauberin kehittämiä Tauberin teoreemaa pidetään yleisesti matemaattisesti mielenkiintoisempina, mutta se soveltuu paremmin suppenevien sarjojen tutkimiseen.

Mikäli suppenevien sarjojen summafunktio on lineaarinen, voidaan Hahn-Banachin teoreeman perusteella menetelmää käyttää yleisesti kaikkien sarjojen vastaavien osasummien laskemiseen. Lineaarisuuden todistamien käytännön laskuissa vaatii kuitenkin harrastuneisuutta.

Hajaantuvien sarjojen matemaattinen analyysi perustuu Abelin, Cesàron ja and Borelin summien käyttöön. Hajaantuvien sarjojen summamenetelmällä on yhteys numeeriseen sekvenssin ekstrapolointiin, kvanttimekaniikassa käytettäviin paikkariippumattomaan kartoitukseen sekä Fourier-analyysissä käytettävään Banachin algebraan.

Summamenetelmien ominaisuuksista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Summamenetelmät keskittyvät yleensä sarjan osasummaan sekvenssiin. Mikäli tämä sekvenssi ei suppene, voidaan sekvenssiä laajentaa ja tämän uuden alueen keskiarvoa voidaan usein käyttää sarjan summan arvioimiseen raja-arvon sijasta. Eli a = a0 + a1 + a2 + ..., voidaan tutkia sekvenssiä s, s0 = a0 ja sn+1 = sn + an+1 Mikäli kyseessä on suppeneva alue, se lähestyy raja-arvoa a. Summamenetelmä (A) voidaan nähdä sekvenssien osasummien ja niiden arvojen funktiona. Vastaavasti sarjojen summamenetelmässä kyseiset lukuarvot liittyvät vastaaviin sarjoihin. Seuraavien ehtojen täyttyessä raja-arvojen ja summien arviointi onnistuu:

  1. Säännöllisyys. Summamenetelmä on säännöllinen, jos sekvenssi 's suppenee kohti x:ää, A(s) = x.. Vastaavan sarjan summamenetelmä on ekvivalentisti AΣ(a) = x.
  2. Lineaarisuus. A on lineaarinen, jos se on lineaarisessa suhteessa lukujonoon, jossa se on määritelty. Esimerkiksi A(r + s) = A(r) + A(s) ja A(ks) = k A(s),, missä k on skalaari (reaalinen tai kompleksinen). Koska sarjan a termit an = sn+1sn ovat lineaarisessa suhteessa sekvenssiin ja sekvenssi termeihin on AΣ lineaarisessa suhteessa sarjan termeihin.
  3. Stabiilisuus. A(s) on määritelty, jos s on s0 alkava sekvenssi ja sekvenssi s′ saadaan sn = sn+1s0. Jos ja vain jos A(s′) on määritelty, saadaan A(s) = s0 + A(s′). Ekvivalentisti voidaan todeta, että mikäli an = an+1 kaikilla n, niin AΣ(a) = a0 + AΣ(a′).

Esimerkiksi Borelin summassa kolmas ehto ei ole lähtöoletuksena.

Kahden eri summausmenetelmän A ja B toivottava ominaisuus on jatkuvuus. A ja B ovat jatkuvia, mikäli jokaisella tutkitulla sekvenssillä s molempien arvot ovat samat eli A(s) = B(s). Summausmenetelmien vahvuuksia voidaan vertailla: Vahvempana pidetään sitä, joka soveltuu useamman sarjan summien laskemiseen.

Vaikka summamenetelmä olisi epäsäännöllinen ja epälineaarisia, se voi silti olla vahva ja omata käytännön sovellutuksia. Tällaisista esimerkki on Padén approksimointi.

Aksiomaattiset menetelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monia hajaantuvia sarjoja voidaan summata ottamalla aksioomiksi säännöllisyys, lineaarisuus ja vakaus. Esimerkkinä geometrisen sarjan arviointi (aina, kun r ≠ 1,),

\begin{align}
G(r,c) & = \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \\
 & = c + \sum_{k=0}^\infty cr^{k+1} & & \mbox{ (stabilisuus) } \\
 & = c + r \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \mbox{ (lineaarisuus) } \\
 & = c + r \, G(r,c), & & \mbox{ jossa } \\
G(r,c) & = \frac{c}{1-r} , & & \\
\end{align}

kun r on yhtä suurempi reaaliluku osasummat kasvavat rajatta ja keskiarvomenetelmät lähenevät ääretöntä.

Nörlundin keskiarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon pn positiivisterminen lukujono, joka alkaa p0:sta. Oletetaan myös, että

\frac{p_n}{p_0+p_1 + \cdots + p_n} \rightarrow 0.

Käyttämällä painotettua keskiarvoa saamme muokattua lukujonon

t_m = \frac{p_m s_0 + p_{m-1}s_1 + \cdots + p_0 s_m}{p_0+p_1+\cdots+p_m}

jossa (n:n lähestyessä ääretöntä) tn raja-arvoa kutsutaan Nörlundin keskiarvoksi, Np(s). Nörlundin keskiarvo on säännöllinen, lineaarinen ja vakaa. Huomioitavaa on, että kaksi satunnaisesti valittua Nörlundin keskiarvoa ovat yhtäpitäviä. Merkittävimpiä Nörlundin keskiarvoista ovat Cesàron summat. Kun lukujono pk määritellään

p_n^k = {n+k-1 \choose k-1}

on Cesàron summan määritelmä Ck(s) = N(pk)(s). Cesàron summat ovat Nörlundin keskiarvoja, mikäli k ≥ 0. Säännöllisistä, lineaarisista, vakiosta sekä yhtäpitävistä summista C0 on tavallinen yhteenlasku ja C1 taas Cesàron summakaava. Cesàron summista on mainittava, että mikäli h > k,, niin Ch on Ck vahvempi.

Abelin keskiarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon λ = {λ0, λ1, λ2, ...} kohti ääretöntä kasvava lukujono jaλ0 ≥ 0. an = sn+1sn osassummat muodostavat jonon s. Oletetaan, että

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)

suppenee kaikilla reaaliluvuilla x. Abelin keskiarvo määritellään tällöin

A_\lambda(s) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x).

Tällaiset sarjat tunnetaan yleisemmin Dirichlet'n sarjoina, joita sovelletaan fysiikassa. Abelin keskiarvot ovat säännöllisiä, lineaarisia ja vakioita, mutta eivät aina yhtäpitäviä eri λ:n arvoilla. Niistä osaa voidaan hyödyntää yhteenlaskumenetelmissä.

Abelin summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Abelin yhteenlaskukaava saadaan, kun λn = n, λn = n. Kaava on

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-nx) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n,

missä z = exp(−x). X:n lähestyessä nollaa positiivilta puolelta f(x) raja-arvo lähestyy potenssisarjan ƒ(z) raja-arvoa, kun z lähestyy yhtä positiivisten reaalilukujen kautta. Tällöin Abelin summa A(s) määritellään

A(s) = \lim_{z \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.

Abelin summa on säännöllinen, lineaarinen, stabiili sekä yhtäpitävä Cesàron yhteenlaskukaavan kanssa. Abelin kaavasta tekee käyttökelpoisemman se, että : A(s) = Ck(s) voidaan myöhemmin määritellä halutuksi.

Lindelöfin summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos λn = n ln(n), niin alaindeksien lähtiessä yhdestä saadaan

f(x) = a_1 + a_2 2^{-2x} + a_3 3^{-3x} + \cdots .

Silloin L(s), Lindelöfin summa (Volkov 2001), on ƒ(x):n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa. Lindelöfin summa soveltuu potenssisarjojen summan laskemiseen kompleksianalyysin alaan kuuluvassa Mittag-Lefflerin tähdessä.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Volkov, I.I (2001), " Cesaro summation methods", Encylopedia of Mathematics, Springer

Hardy, G.H (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • [1] Hajaantuva sarja Mathword Woflframissa
  • [2] Hajaantuva sarja Mathwordissa
  • [3] Abelin teoreemasta Planetmathissa
  • [4] Abelin teoreema Mathworld Woflframissa
  • [5] Encyclopaedia of Mathematics, Mittag-Leffler star
  • [6] Paden aproksimointi
  • [7] Encyclopaedia of Mathematics, Tauberin teroreema