Goldbachin heikko konjektuuri

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Goldbachin heikko konjektuuri on matematiikan avoin ongelma, jonka mukaan jokainen lukua \scriptstyle 7 suurempi pariton kokonaisluku \scriptstyle n on kolmen alkuluvun summa. Otaksuma tunnetaan myös nimillä pariton Goldbachin konjektuuri ja kolmen alkuluvun ongelma.

Edistyminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • 1937: Vinogradov todisti Siegelin–Walfiszin lauseen avulla otaksuman pätevän kaikille riittävän suurille luvuille ilman yleistettyä Riemannin hypoteesiä.[2]
  • 1939: Vinogradovin opiskelija K. Borozdin todisti, että väite pätee kun \scriptstyle n>3^{14348907}.
  • 1997: Deshouillers, Effinger, te Riele ja Zinoviev todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma.[3]
  • 2002: Liu Ming-Chit ja Wang Tian-Ze onnistuivat todistamaan, että väite on voimassa kun \scriptstyle n\geq e^{3100}. Raja on vielä liian suuri tietokoneiden läpikäytäväksi, mutta jokainen yksittäinen erikoistapaus on suuruusluokkansa puolesta tarkistettavissa.[4]
  • Toukokuuhun 2012 mennessä Goldbachin heikko konjektuuri on todistettu lukuun 5{,}90698\cdot 10^{29} asti.[5]
  • Vuosina 2012, 2013 ja 2014 H. A. Helfgott lähetti Arxiviin kolme artikkelia, jotka todistivat otaksuman.[5][6][7][8][9] Todistus perustuu niin sanottuun major- ja minorkaariestimointiin, joka on kehitetty Hardyn–Littlewoodin ympyrämenetelmästä sekä otaksuman laskennalliseen varmistamiseen lukua 10^{27} pienemmille ja seitsemää suuremmille parittomille luvuille. Tämän laskennallisen osuuden hän teki yhdessä David Plattin kanssa[10].

Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Vuonna 1995 Olivier Ramaré osoitti, että jokainen parillinen luku n\geq 4 on korkeintaan kuuden alkuluvun summa. Tästä seuraa, että jokainen pariton luku n\geq 5 on korkeintaan seitsemän alkuluvun summa.[11]
  • Vuonna 1995 Leszek Kaniecki osoitti, että jokainen pariton kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa, kunhan Riemannin hypoteesi on voimassa. [12]
  • 2012: Terence Tao todisti, että jokainen pariton positiivinen kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa.[13]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1-70. Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561-630, Clarendon Press, Oxford, 1966.
  2. I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179--195. Russian
  3. J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94--104.
  4. Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith., 105, No.2, 133-175 (2002)
  5. a b H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252
  6. Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved
  7. Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
  8. H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1
  9. H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748
  10. H. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062
  11. Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645-706
  12. Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374
  13. Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.