Yleistetty Riemannin hypoteesi

Yleistetyn Riemannin hypoteesin (Dirichlet'n L-funktioille) muotoili todennäköisesti ensimmäisen kerran Adolf Piltz vuonna 1884. Kuten tavallisella Riemannin hypoteesillä, myös yleistetyllä hypoteesillä on pitkälle meneviä seurauksi alkulukujen jakaumasta.

Formaali muotoilu hypoteesille on seuraava: Dirichlet'n karakteri on täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio $\chi$ siten että on olemassa positiivinen kokonaisluku k jolle χ(n + k) = χ(n) kaikilla n χ(n) = 0 kun gcd(n, k) > 1. Jos tällainen karakteri on olemassa, määritellään vastaava Drichlet'n L-funktio asettamalla

$L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

kaikilla kompleksiluvuilla s, joiden reaaliosa on suurempi kuin yksi. Tämä voidaan jatkaa analyyttisellä jatkeella koko kompleksitason meromorfiseksi funktioksi. Yleistetyn Riemannin hypoteesi kuuluu seuraavasti: Jos jokaisella Dirichlet'n karakterilla $\chi$ ja jokaisella kompleksiluvulla $s$, joilla $0<\operatorname {Re} s<1$ on voimassa $L(\chi ,s)=0,$ niin $s=1/2.$

Tapauksessa $\chi (n)=1$ kaikilla $n$ väite pelkistyy tavalliseksi Riemannin hypoteesiksi.