Fibonaccin lukujono

Turku Energian savupiippu Turun keskustan IX kaupunginosassa on näkyvä maamerkki. Piipussa on italialaisen Mario Merzin vuonna 1994 suunnittelema neonvaloteos Fibonacci Sequence 1–55, jossa sarjan kukin luku on kahden edellisen luvun summa.

Fibonaccin lukujono l. fibonaccisekvenssi määritellään rekursiivisesti seuraavasti:

$F(n)= \begin{cases} 0 & \mbox{, kun } n = 0 \\ 1 & \mbox{, kun } n = 1 \\ F(n-1)+F(n-2) & \mbox{, kun } n > 1 \\ \end{cases}$

Toisin sanoen Fibonaccin lukujonon ajatuksena on laskea yhteen kaksi edellistä lukua, ja näin saada seuraavan luvun arvo. Fibonaccin lukujonon ensimmäiset yksitoista lukua järjestyksessä ovat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Joskus on myös tapana määritellä Fibonaccin lukujonon alkavan ykkösestä eikä nollasta.

Fibonaccin jono on kiinnostava sikäli, että sen kahden perättäisen luvun suhde lähestyy kultaista leikkausta. Koska Fibonacci-tyyppisesti eteneviä korkoa korolle-summautuvia prosesseja löytyy paljon biologisesta luonnosta, löytyy sieltä myös paljon kultaista leikkausta vastaavia suhteita. Monissa kukissa terälehtien määrä vastaa jotakin Fibonaccin lukujonon lukua, kuten päivänkakkarassa 34.

Analyyttinen muoto

Fibonaccin lukujono voidaan esittää myös analyyttisessä muodossa. Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke on

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$, jossa $\varphi$ on kultainen leikkaus $\varphi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}\approx 1{,}618$, eli kaavaan sijoitettuna:

$F\left(n\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5} }{2}\right)^n -\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right)$.

Tribonaccin luvut

Fibonaccin luvuista väännettyä muotoa, jossa lasketaan kahden sijaan yhteen kolme perättäistä lukua, kutsutaan "Tribonaccin luvuiksi". Sen ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149..^{[vanhentunut linkki]}

Tribonaccin lukuja seuraavat korkeamman asteen lukujonot ovat "tetranacci", "pentanacci", "heksanacci" ja "heptanacci". Näissä lasketaan neljä, viisi, kuusi tai seitsemän perättäistä lukua yhteen.

Katso myös

• Zeckendorfin lause