Bernoullin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Bernoullin epäyhtälö approksimoi reaaliluvun 1 + x potensseja.

Epäyhtälön mukaan

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 0 ja kaikilla reaaliluvuilla x > −1. Jos eksponentti r on parillinen, on epäyhtälö voimassa kaikilla reaaliluvuilla x. Aito epäyhtälö

(1 + x)^r > 1 + rx\!

on voimassa kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 2 kunhan x ≥ −1, x ≠ 0.

Bernoullin epäyhtälöä käytetään usein toisten epäyhtälöiden todistamiseen. Itse Bernoullin epäyhtälö voidaan todistaa kokonaislukueksponenteille induktion avulla:

Alkuaskel:

r = 0

(1 + x)0 ≥ 1 + 0*x, pätee selvästi.

Induktio-oletus:

(1 + x)r ≥ 1 + rx.

Induktioaskel:

Kerrotaan induktio-oletus puolittain (1 + x):llä ⇒ (1 + x)r+1 ≥ 1 + rx + x + rx2 ≥ 1 + (r+1)x, MOT.

Eksponentti r voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos x > −1, on

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

kaikilla r ≤ 0 tai r ≥ 1 ja

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

kun 0 ≤ r ≤ 1. Tämän yleistys voidaan todistaa derivaatan avulla. Edelleen tämä epäyhtälö on aito kun x ≠ 0 ja r ≠ 0, 1.

Vastaavia epäyhtälöitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraava epäyhtälö arvio luvun 1 + x r:ttä potenssia: kaikilla reaaliluvuilla x, r > 0 on voimassa

(1 + x)^r < e^{rx},\!

missä e = 2,718.... Tämä voidaan todistaa epäyhtälön (1 + 1/k)k < e avulla.