Matemaattinen induktio

Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikkoihin.

Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.

Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.

Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua $n$ koskeva väite todeksi kaikilla $n$:n arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:

1. Perusaskel
   • Osoitetaan esimerkin kautta, että $P(0)$ on tosi
2. Induktioaskel
   • Induktio-oletus: oletetaan, että $P(n)$ on tosi arvolla $n=k$
   • Induktioväite: väitetään, että $P(n)$ tosi arvolla $n=k+1$
   • Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite
3. Johtopäätös
   • Induktioaskeleessa todistettiin, että $P(n)$ on tosi aina seuraavalla $n$:n arvolla. Koska $P(0)$ on tosi, niin myös $P(n)$ on tosi kaikilla $n$:n luonnollisilla arvoilla.

Esimerkki

Todistetaan oikeaksi kaava $0+1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

1. Perusaskel:

   Näytetään, että P(0) pätee:

   $0 = \frac{0 \cdot (0+1)}{2}$

2. Induktioaskel:

   Induktio-oletus: P(n) on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis P(0) paikkansapitävyys).

   Induktioväite: P(n + 1) on tosi. Toisin sanoen

   $0+1+2+ \dots +n+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}$.

   Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus $(0 + 1 + 2 + \dots + n) = n(n+1)/2$, jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon

   $\frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1)$.

   Jos tämä voidaan esittää muodossa $\frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}\$, on induktiotodistus saatettu loppuun.

   $\begin{align} \frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1) & = (n+1) \left( \frac{n}{2} + 1 \right) \\ & = (n+1)\left( \frac{n}{2} + \frac{2}{2} \right) \\ & = \frac{(n+1)(n + 2)}{2} \\ & = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1) + 1)}{2} \\ && \Box \end{align}$

Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla n + 1. Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun n = 0. Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla $n \isin \{ 0,\ (0 + 1),\ (0 + 1) + 1,\ \dots \} = \mathbb{N}$.

Katso myös

• Induktiivinen päättely - yksittäisestä yleiseen
• Deduktiivinen päättely - yleisestä yksittäiseen