Matemaattinen induktio

Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikkoihin.

Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.

Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua $n$ koskeva väite todeksi kaikilla luvun $n$ arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:

1. Perusaskel
   • Osoitetaan esimerkin kautta, että $P(0)$ on tosi
2. Induktioaskel
   • Induktio-oletus: oletetaan, että $P(n)$ on tosi arvolla $n=k$
   • Induktioväite: väitetään, että $P(n)$ tosi arvolla $n=k+1$
   • Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite
3. Johtopäätös
   • Induktioaskeleessa todistettiin, että $P(n)$ on tosi aina seuraavalla luvun $n$ arvolla. Koska $P(0)$ on tosi, niin myös $P(n)$ on tosi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$.

Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.

Esimerkki

Todistetaan oikeaksi kaava

$0+1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$

1. Perusaskel:

   Näytetään, että $P(0)$ pätee:

   $0 = \frac{0 \cdot (0+1)}{2}$

2. Induktioaskel:

   Induktio-oletus: $P(n)$ on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis $P(0)$ paikkansapitävyys.)

   Induktioväite: $P(n+1)$ on tosi. Toisin sanoen

   $0+1+2+ \dots +n+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}.$

   Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus $(0 + 1 + 2 + \dots + n) = n(n+1)/2$, jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon

   $\frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1).$

   Jos tämä voidaan esittää samassa muodossa kuin induktioväitteen oikea puoli, niin induktiotodistus on saatettu loppuun. Induktioväite on tosi, koska

   $\begin{align} \frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1) & = (n+1) \left( \frac{n}{2} + 1 \right) \\ & = (n+1)\left( \frac{n}{2} + \frac{2}{2} \right) \\ & = \frac{(n+1)(n + 2)}{2} \\ & = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1) + 1)}{2}. \end{align}$

3. Johtopäätös:

   Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla $n+1$. Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun $n=0$. Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla $n \in \{0, (0 + 1), (0+1)+1, \dots\} = \mathbb{N}. \qquad \Box$

Katso myös

• Induktiivinen päättely (yksittäisestä tapauksesta yleiseen tapaukseen)
• Deduktiivinen päättely (yleisestä tapauksesta yksittäiseen tapaukseen)