Vaihenopeus

Dispersio syvän veden pinnalla etenevissä paino­voima-aalloissa. Kuvan punaiset neliöt (    ) etenevät vaihe­nopeudella, vihreät kiekot (     ) ryhmä­nopeudella. Tässä syvän veden tapauksessa vaihe­nopeus on kaksi kertaa niin suuri kuin ryhmä­nopeus. Jokainen punainen neliö kohtaa kaksi vihreää kiekkoa kulkiessaan kuvan vasemmasta laidasta oikeaan.
Aaltoryhmän takana näyttää muodostuvan uusia aaltoja, joiden amplitudi kasvaa, kunnes ne ovat kuvan keskellä, minkä jälkeen ne häviävät ennen saapu­mistaan kuvan oikeaan laitaan.
Veden pinnalla etenevissä painovoima-aalloissa vesipisaroiden nopeudet nopeudet ovat useimmiten paljon pienempiä kuin aallon vaihe­nopeus.

Etenevä aaltopaketti, jossa vaihe­nopeus on suurempi kuin ryhmä­nopeus.

Aalto, jonka vaihe­nopeus on ryhmä­nopeuteen nähden vastakkais­suuntainen. Aalto­ryhmä etenee oikealle, mutta yksittäiset aallon­huiput vasemmalle, joten ryhmä­nopeus on positiivinen, mutta vaihe­nopeus negatiivinen.

Vaihenopeus on aaltoliikkeessä se nopeus, jolla aallon vaihe etenee avaruudessa. Samalla se on nopeus, jolla kukin aallon taajuuskomponentti etenee. Sellaisella komponentilla jokainen aallon vaihe, esimerkiksi aallon­huippu, näyttää etenevän vaihe­nopeudella. Aallon vaihe­nopeus voidaan esittää sen aallon­pituuden λ ja jakson­ajan T avulla:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.$

Yhtäpitävästi, käyttäen aallon kulma­taajuutta, joka tarkoittaa vaihekulman $\omega$ muutos­nopeutta aikayksikössä, ja aalto­lukua $k$, joka tarkoittaa vaiheulman muutosnopeutta matkan yksikköä kohti, vaihenopeus voidaan lausua muodossa

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan yksin­kertaista siniaaltoa, $A\cos {(kx-\omega t)}$. Ajan t aikana aalto­lähde on tuottanut $N={\frac {\omega }{2\pi }}t=ft$ värähdystä. Samassa ajassa t tämä N:n aallon rintama on edennyt lähteestä avaruuden halki matkan x niin, että tällä matkalla niitä on samat $N={\frac {k}{2\pi }}x$ kappaletta. Aallon etenemis­nopeudeksi saadaan tästä $v={\frac {x}{t}}={\frac {\omega }{k}}$. Aalto etenee siis sitä nopeammin mitä pidempiä ja useammin toistuvia avaruudessa leviävät aallot ovat.

Muodollisesti aallon vaihe on $\phi =kx-\omega t$. Koska $\omega =-{\frac {d\phi }{dt}}$ ja $k=+{\frac {d\phi }{dx}}$, vaihenopeus on $v={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}$.

Vaihenopeus, ryhmänopeus ja taitekerroin

Yksiulotteisen tasoaallon (sininen) superpositio eri vaihenopeuksilla (siniset pisteet) johtaa Gaussin käyrän muotoiseen aaltopakettiin (punainen), joka etenee ryhmänopeudella (punainen viiva).

Perusmuotoinen siniaalto ei kuljeta informaatiota. Useimmiten kuitenkin aaltoliikkeen amplitudi tai taajuus vaihtelevat jonkin verran, mitä sanotaan modulaatioksi. Yhdistämällä kaksi siniaaltoa, joilla on hieman toisistaan poikkeavat taajuudet ja aallon­pituudet,

$\cos[(k-\Delta k)x-(\omega -\Delta \omega )t]\;+\;\cos[(k+\Delta k)x-(\omega +\Delta \omega )t]=2\;\cos(\Delta kx-\Delta \omega t)\;\cos(kx-\omega t),$

aallon amplitudikin vaihtelee sini­muotoisesti, ja sillä on vaihenopeus ${\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}$ Juuri tämä modulaatio esittää informaatiota välittävissä aalloissa signaalin sisältöä. Koska jokainen amplitudia esittävänä verhokäyrän osa sisältää ryhmän sisäisiä aaltoja, tätä nopeutta sanotaan ryhmä­nopeudeksi, v_g. Edellä sanotusta seuraa, että perus­muotoisella sini­aallollakin on hyvin määritelty vaihenopeus, mutta sen ryhmä­nopeutta ei voida määritellä.

Annetussa väliaineessa aalto­liikkeen taajuus on jokin aaltoluvun funktio $\omega (k)$. Aalto­liikkeen vaihe­nopeus riippuu väliaineesta ja monessa tapauksessa myös sen taajuudesta. Jos vaihenopeus kuitenkin on taajuudesta riippumaton, aaltoliikkeen ryhmänopeus on yhtä suuri kuin vaihenopeus. Yleisessä tapauksessa $n=n(k)$ ja aallon ryhmänopeus saadaan derivoimalla kulmataajuus $\omega ={\frac {ck}{n(k)}}$ aaltoluvun k suhteen:

${\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\frac {c}{n}}-{\frac {ck}{n^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}k}}~.$

Valon vaihenopeus ja dispersio

Valon tai muun sähkömagneettisen aallon taitekerroin annetussa väliaineessa on yhtä suuri kuin valon nopeus tyhjiössä (c) jaettuna sen vaihe­nopeudella kyseisessä väliaineessa:

$n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {ck}{\omega }}$.

Jos valon vaihenopeus ja sen mukaisesti taitekerroin ei ole yhtä suuri kaikilla taajuuksilla, väliaineessa esiintyy dispersiota, mikä ilmenee valon hajaantumisena väreihin.

Valonnopeuden c ja väliaineessa etenevien valoaaltojen vaihe­nopeuden v_p suhde on sama kuin väliaineen taitekerroin, $n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {ck}{\omega }}$.

Koska ${\frac {c}{n}}=v_{p}$, valon ryhmä­nopeus on yhtä suuri kuin sen vaihenopeus vain, jos sen taite­kerroin on aaltoluvusta dk riippumaton vakio eli ${\frac {dn}{dk}}=0$. Tässä tapauksessa sen vaihe- ja ryhmänopeus eivät myöskään riipu taajuudesta sillä ${\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {c}{n}}$.

Muussa tapauksessa sekä vaihenopeus että ryhmä­nopeus riippuvat taajuudesta ja väliainetta sanotaan dispersiiviseksi. Funktiota, joka osoittaa, millä tavalla aaltoliikkeen kulmataajuus riippuu sen aaltoluvusta, sanotaan väliaineen dispersiorelaatioksi.

Valon vaihenopeus väliaineessa saattaa eräissä tapauksissa olla jopa suurempi kuin valon nopeus tyhjiössä (c). Tämä on mahdollista, jos väliaineessa esiintyy ns. anomaalinen dispersio, jolloin sen taitekerroin tavallisesta poiketen pienenee valon taajuuden kasvaessa. (Yleensähän taitekerroin on sitä suurempi, mitä suurempi on valoaallon taajuus.) Anomaalisen dispersion tapauksessa taitekerroin voi olla pienempi kuin 1, jolloin valon vaihenopeus ylittää valon nopeuden tyhjiössä. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että informaatiota tai energiaa voitaisiin siirtää valoa nopeammin, mikä olisi ristiriidassa suhteellisuusteorian kanssa. Tätä ilmiötä ovat teoreettisesti kuvailleet useat fyysikot kuten Arnold Sommerfeld ja Léon Brillouin.

Vaihenopeus kvanttimekaniikassa

Kvanttimekaniikan mukaan jokaiseen etenevään hiukkaseenkin liittyy aalto, jonka aallonpituus on de Broglien mukaan

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}$

ja taajuus

$f={\frac {E}{h}}$,

missä h on Planckin vakio, p hiukkasen liikemäärä, m sen massa, v sen etenemisnopeus ja E sen energia. Tästä seuraa, että hiukkaseen liittyvä aallon vaihenopeus u on aallonpituuden ja taajuuden tulo, eli

$u=\lambda f={\frac {h}{mv}}\cdot {\frac {E}{h}}={\frac {E}{mv}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}$

Tässä hiukkasen etenemisnopeus v on sama kuin aallon ryhmänopeus. Koska massallisten hiukkasten enenemisnopeus on aina pienempi kuin valonnopeus c, on sen vaihenopeus u = c²/v aina valonnopeutta suurempi. Tässäkään tapauksessa valonnopeutta suurempi vaihenopeus ei silti merkitse, että olisi mahdollista lähettää valoa nopeammin eteneviä eteneviä signaaleja.

Katso myös

• Ryhmänopeus
• Dispersio
• Tšerenkovin säteily