Toisen asteen yhtälö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Toisen asteen käyriä diskriminantin arvoilla >0, =0 ja <0.

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on kun .

Kun , on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, ja negatiivisilla arvoilla vastaavasti alaspäin aukeava.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

.

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin arvosta seuraavasti:

jos , yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta ja
jos , yhtälöllä on kaksoisjuuri eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
jos , yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta, mutta on kaksi kompleksista juurta , jotka ovat toistensa liittoluvut.

Ratkaisukaavan johtaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö

.

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:

.

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä .

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille saadaan

ja lopulta

.

Suppea normaalimuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Juurien summa ja tulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön juurten ja summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):

  • .

Mikäli , saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:

  • .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Seppänen, Raimo; Tiihonen, Seppo; Wuolijoki, Hilkka: ”Matematiikka: Kaavoja ja määritelmiä”, Maol-taulukot, s. 22. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.