Vietan kaavat

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540-1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa.

Kaavat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomilla, jonka asteluku on n

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja an ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x1x2, ..., xn(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { ak } ja sen juurien { xi } summien ja tulojen välille seuraavasti:


Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille , jonka juuret toteuttavat yhtälön pätee


Kolmannen asteen polynomille , jonka juuret toteuttavat yhtälön pätee

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomi p(X) voidaan juuriensa avulla kirjoittaa seuraavasti

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly, 1930. Mathematical Association of America.
  • Ernest Vinberg: A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.
  • Dušan Djukić: The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006.