Jaksollinen funktio

Jaksollinen funktio on sellainen funktio, joka toistuu samanlaisena tietyn jakson välein. Jaksollisen funktion argumenttia kutsutaan vaiheeksi (engl. phase).

Hieman muodollisemmin ilmaistuna funktio on jaksollinen jos ja vain jos on olemassa reaaliluku $a\neq \ 0$ siten, että kaikilla funktion määrittelyjoukkoon kuuluvilla arvoilla $x$ on voimassa $f(x)=f(x+a)$. Tällöin funktion $f$ jakso on $a$ ja vaihe $x-t$, jossa $t$ on kiinteä vertailuarvo.

Ominaisuuksia

Määritelmästä seuraa suoraan, että jaksolliselle funktiolle ei ole olemassa yksikäsitteistä käänteisfunktiota.

Jaksollinen funktio voidaan esittää Fourier'n sarjana.

Esimerkkejä

Esimerkiksi trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti ovat kaikki jaksollisia ja jatkuvia. Jaksollinen funktio ei välttämättä kuitenkaan ole jatkuva: esimerkiksi funktio $f(x)={\begin{cases}1&{\textrm {,\ kun\ }}x\in \mathbb {R} \\0&{\textrm {,\ kun\ }}x\notin \mathbb {R} \end{cases}}$ on matemaattisesti jaksollinen, mutta ei ole jatkuva missään.

Fysiikassa jaksolliselta suureelta vaaditaan lisäksi että jaksonpituus on vakio tai se muuttuu hyvin hitaasti itse funktioon verrattuna. Yleensä fysiikan jaksollisia funktioita kuvataan eksponenttifunktiolla kompleksitasossa.

Jakson pituudesta käytetään fysiikan aaltoliikeopissa myös nimityksiä aallonpituus ja jaksonaika.