Ero sivun ”Ylinumeroituva joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
pEi muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Ylinumeroituva joukko''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[joukko]], joka ei ole [[numeroituva joukko|numeroituva]]. |
'''Ylinumeroituva joukko''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[joukko]], joka ei ole [[numeroituva joukko|numeroituva]]. |
||
Numeroituvuus tarkoittaa, että joukon [[mahtavuus]] on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tästä seuraa, että kaikki ylinumeroituvat joukot ovat äärettömiä. Ylinumeroituvan joukon mahtavuus on aidosti suurempi kuin <math>\aleph_0</math>, [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukon mahtavuus |
Numeroituvuus tarkoittaa, että joukon [[mahtavuus]] on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tästä seuraa, että kaikki ylinumeroituvat joukot ovat äärettömiä. Ylinumeroituvan joukon mahtavuus on aidosti suurempi kuin <math>\aleph_0</math>, [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukon mahtavuus. |
||
==Määritelmä== |
==Määritelmä== |
||
| Rivi 8: | Rivi 8: | ||
:<math>f\colon \mathbb{N} \to S </math> |
:<math>f\colon \mathbb{N} \to S </math> |
||
Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on [[reaaliluku]]jen joukko '''R'''. Joukon '''R''' mahtavuutta merkitään usein <math>\beth_1</math>. Toinen ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko. |
Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on [[reaaliluku]]jen joukko '''R'''. Se voidaan todistaa ylinumeroituvaksi [[Cantorin diagonaaliargumentti|Cantorin diagonaaliargumentilla]]; samanlaista tekniikkaa voidaan käyttää myös monien muiden joukkojen ylinumeroituvuuden osoittamiseen. Joukon '''R''' mahtavuutta merkitään usein <math>\beth_1</math>. Toinen ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon [[potenssijoukko]] <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>. |
||
Kaikki ylinumeroituvat joukot eivät kuitenkaan ole samankokoisia. Kolmas esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on kaikkien [[funktio]]iden ''f'' : '''R'''→'''R''' joukko. Tämä joukko on vielä reaalilukujenkin joukkoa "ylinumeroituvampi". Sen mahtavuutta merkitään <math>\beth_2</math>, joka on suurempi kuin <math>\beth_1</math>. |
|||
Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi ''enemmän'' kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska jokaista reaalilukua kohti voidaan luetella ääretön määrä uusia kokonaislukuja. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa ''tiheämpi''. |
Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi ''enemmän'' kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska jokaista reaalilukua kohti voidaan luetella ääretön määrä uusia kokonaislukuja. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa ''tiheämpi''. |
||
Versio 1. marraskuuta 2005 kello 17.33
Ylinumeroituva joukko on matematiikassa joukko, joka ei ole numeroituva.
Numeroituvuus tarkoittaa, että joukon mahtavuus on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tästä seuraa, että kaikki ylinumeroituvat joukot ovat äärettömiä. Ylinumeroituvan joukon mahtavuus on aidosti suurempi kuin , luonnollisten lukujen joukon mahtavuus.
Määritelmä
Joukko S on ylinumeroituva jos ja vain jos ei ole olemassa surjektiota
Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on reaalilukujen joukko R. Se voidaan todistaa ylinumeroituvaksi Cantorin diagonaaliargumentilla; samanlaista tekniikkaa voidaan käyttää myös monien muiden joukkojen ylinumeroituvuuden osoittamiseen. Joukon R mahtavuutta merkitään usein . Toinen ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon potenssijoukko .
Kaikki ylinumeroituvat joukot eivät kuitenkaan ole samankokoisia. Kolmas esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on kaikkien funktioiden f : R→R joukko. Tämä joukko on vielä reaalilukujenkin joukkoa "ylinumeroituvampi". Sen mahtavuutta merkitään , joka on suurempi kuin .
Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska jokaista reaalilukua kohti voidaan luetella ääretön määrä uusia kokonaislukuja. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa tiheämpi.