Ero sivun ”Lävistäjä (geometria)” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Selaa historiaa interaktiivisesti
[katsottu versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p muot.
MsaynevirtaBOT (keskustelu | muokkaukset)
13 545 muokkausta
p tavallinen viiva ajatusviivaksi per pyyntö, kuvakoon määr pois, typos fixed: yhtäaikaa → yhtä aikaa using AWB
Rivi 1: Rivi 1:
[[File:Polygone-concave.png|thumb|250px|[[Konkaavi monikulmio|Konkaavissa monikulmiossa]] lävistäjät kulkevat sekä sisosan läpi (punaiset janat) että monikulmion ulkopuolella (vihreät). Sivut ovat mustia janoja.]][[File:Cube diagonals.svg|thumb|250px|[[Kuutio]] on monitahokas, jolla on sekä avaruuslävistäjiä (sininen) että tahkon lävistäjiä (punainen).]]'''Lävistäjä''' eli '''diagonaali''' on [[geometria]]ssa [[Jana (geometria)|jana]], joka yhdistää [[monikulmio]]n [[kulma]]t toisiinsa kulkien kokonaan tai osittain monikulmion sisäosan läpi taikka joskus monikulmion ulkopuolellakin. Kuitenkin, jos jana yhdistää monikulmion vierekkäiset kulmat toisiinsa, kutsutaan janaa monikulmion [[Sivu (geometria)|sivuksi]].<ref name=kv22/><ref name=kon25/> Lävistäjä on myös [[avaruusgeometria]]ssa jana, joka yhdistää [[monitahokas|monitahokkaan]] [[Kärki (geometria)|kärjet]] toisiinsa. Jana voi tällöin kulkea kokonaan tai osittain monitahokkaan sisäosan läpi tai joskus monitahokkaan ulkopuolellakin. Silloin sitä kutsutaan [[avaruuslävistäjä]]ksi. Joskus lävistäjä kulkee myös kokonaan tai osittain [[Tahko (geometria)|tahkon]] pintaa pitkin. Silloin sitä kutsutaan ''tahkon lävistäjäksi''. Kuitenkin, jos jana yhdistää kaksi tahkon vierekkäistä kärkeä ja kulkee kahden vierekkäisen tahkon reunaa pitkin, kutsutaan janaa monitahokkaan [[Särmä (geometria)|särmäksi]].<ref name=kv156/><ref name=kon126/><ref name=polyhedrdiagonal/>
[[Tiedosto:Polygone-concave.png|pienoiskuva|[[Konkaavi monikulmio|Konkaavissa monikulmiossa]] lävistäjät kulkevat sekä sisosan läpi (punaiset janat) että monikulmion ulkopuolella (vihreät). Sivut ovat mustia janoja.]]
[[Tiedosto:Cube diagonals.svg|pienoiskuva|[[Kuutio]] on monitahokas, jolla on sekä avaruuslävistäjiä (sininen) että tahkon lävistäjiä (punainen).]]
'''Lävistäjä''' eli '''diagonaali''' on [[geometria]]ssa [[Jana (geometria)|jana]], joka yhdistää [[monikulmio]]n [[kulma]]t toisiinsa kulkien kokonaan tai osittain monikulmion sisäosan läpi taikka joskus monikulmion ulkopuolellakin. Kuitenkin, jos jana yhdistää monikulmion vierekkäiset kulmat toisiinsa, kutsutaan janaa monikulmion [[Sivu (geometria)|sivuksi]].<ref name=kv22/><ref name=kon25/> Lävistäjä on myös [[avaruusgeometria]]ssa jana, joka yhdistää [[monitahokas|monitahokkaan]] [[Kärki (geometria)|kärjet]] toisiinsa. Jana voi tällöin kulkea kokonaan tai osittain monitahokkaan sisäosan läpi tai joskus monitahokkaan ulkopuolellakin. Silloin sitä kutsutaan [[avaruuslävistäjä]]ksi. Joskus lävistäjä kulkee myös kokonaan tai osittain [[Tahko (geometria)|tahkon]] pintaa pitkin. Silloin sitä kutsutaan ''tahkon lävistäjäksi''. Kuitenkin, jos jana yhdistää kaksi tahkon vierekkäistä kärkeä ja kulkee kahden vierekkäisen tahkon reunaa pitkin, kutsutaan janaa monitahokkaan [[Särmä (geometria)|särmäksi]].<ref name=kv156/><ref name=kon126/><ref name=polyhedrdiagonal/>


== Monikulmiot ==
== Monikulmiot ==
Rivi 11: Rivi 13:


== Monitahokkaat ==
== Monitahokkaat ==
Monitahokkaiden tahkot ovat monikulmiota, joten monikulmioiden nimitykset ja ominaisuudet soveltuvat myös niihin. Monitahokkaiden avaruuslävistäjien lukumäärät ja ominaisuudet riippuvat monesta seikasta yhtäaikaa. [[säännöllinen monitahokas|Säännöllisissä monitahokkaissa]] on helpompi pohtia avaruuslävistäjien ominaisuuksia. [[Tetraedri]]ssä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä. Koska sen avaruuslävistäjät kulkisivat aina tahkoja pitkin, ei sillä ole sen takia sellaisia olemassa. Myöskään tahkojen lävistäjiä ei ole olemassa, koska tahkot ovat aina kolmioita.<ref name=tetra/> [[Kuutio]]ssa on neljä yhtä pitkää avaruuslävistäjää ja 12 yhtä pitkää tahkon lävistäjää.<ref name=cube/> Säännöllisistä viisikulmioista muodostetuilla [[dodekaedri|dodekaedrei]]llä on 12 tahkoa, 20 kärkeä ja 30 särmää. Tahkon lävistäjiä on 60 kappaletta ja ne ovat kaikki yhtä pitkiä. Sillä on silloin
Monitahokkaiden tahkot ovat monikulmiota, joten monikulmioiden nimitykset ja ominaisuudet soveltuvat myös niihin. Monitahokkaiden avaruuslävistäjien lukumäärät ja ominaisuudet riippuvat monesta seikasta yhtä aikaa. [[säännöllinen monitahokas|Säännöllisissä monitahokkaissa]] on helpompi pohtia avaruuslävistäjien ominaisuuksia. [[Tetraedri]]ssä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä. Koska sen avaruuslävistäjät kulkisivat aina tahkoja pitkin, ei sillä ole sen takia sellaisia olemassa. Myöskään tahkojen lävistäjiä ei ole olemassa, koska tahkot ovat aina kolmioita.<ref name=tetra/> [[Kuutio]]ssa on neljä yhtä pitkää avaruuslävistäjää ja 12 yhtä pitkää tahkon lävistäjää.<ref name=cube/> Säännöllisistä viisikulmioista muodostetuilla [[dodekaedri|dodekaedrei]]llä on 12 tahkoa, 20 kärkeä ja 30 särmää. Tahkon lävistäjiä on 60 kappaletta ja ne ovat kaikki yhtä pitkiä. Sillä on silloin
:<math>\tbinom{20}{2}-12 \cdot 5 - 30 = 100</math>
:<math>\tbinom{20}{2}-12 \cdot 5 - 30 = 100</math>
avaruuslävistäjää, jotka ovat montaa eri pituutta.<ref name=facediagonal/><ref name=spacediagonal/>
avaruuslävistäjää, jotka ovat montaa eri pituutta.<ref name=facediagonal/><ref name=spacediagonal/>


== Lähteet ==
== Lähteet ==
*{{Kirjaviite | Tekijä =[[Kalle Väisälä|Väisälä, Kalle]] | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959 | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf | Tiedostomuoto =pdf | Viitattu = 16.4.2014 }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =[[Kalle Väisälä|Väisälä, Kalle]] | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959 | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf | Tiedostomuoto =pdf | Viitattu = 16.4.2014}}
⚫
*{{Kirjaviite | Tekijä =Kontkanen, Pekka & al. | Nimeke =Pyramidi 3 | Vuosi =2005 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi | Isbn = 978-951-26-5059-0 | Viitattu =15.10.2013 }}

⚫
*{{Kirjaviite | Tekijä =Kontkanen, Pekka & al. | Nimeke =Pyramidi 3 | Vuosi =2005 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi | Tunniste =ISBN 978-951-26-5059-0 | Viitattu =15.10.2013 }}


=== Viitteet ===
=== Viitteet ===
Rivi 26: Rivi 27:
* <ref name=kon25>Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.25</ref>
* <ref name=kon25>Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.25</ref>
* <ref name=kon126>Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.126</ref>
* <ref name=kon126>Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.126</ref>
⚫
* <ref name=polydiagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html | Nimeke = Polygon Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
* <ref name=polyhedrdiagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PolyhedronDiagonal.html | Nimeke = Polyhedron Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
* <ref name=spacediagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/SpaceDiagonal.html | Nimeke = Space Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
* <ref name=facediagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/FaceDiagonal.html | Nimeke = Face Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
* <ref name=cube>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Cube.html | Nimeke = Cube | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
* <ref name=tetra>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html | Nimeke = Regular Tetrahedron | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
⚫
}}


⚫
* <ref name=polydiagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html | Nimeke = Polygon Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

⚫
* <ref name=polyhedrdiagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PolyhedronDiagonal.html | Nimeke = Polyhedron Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

⚫
* <ref name=spacediagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/SpaceDiagonal.html | Nimeke = Space Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

⚫
* <ref name=facediagonal>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/FaceDiagonal.html | Nimeke = Face Diagonal | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

⚫
* <ref name=cube>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Cube.html | Nimeke = Cube | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

⚫
* <ref name=tetra>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html | Nimeke = Regular Tetrahedron | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
⚫
}}
[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Geometria]]

Versio 5. maaliskuuta 2017 kello 16.38

Konkaavissa monikulmiossa lävistäjät kulkevat sekä sisosan läpi (punaiset janat) että monikulmion ulkopuolella (vihreät). Sivut ovat mustia janoja.
Kuutio on monitahokas, jolla on sekä avaruuslävistäjiä (sininen) että tahkon lävistäjiä (punainen).

Lävistäjä eli diagonaali on geometriassa jana, joka yhdistää monikulmion kulmat toisiinsa kulkien kokonaan tai osittain monikulmion sisäosan läpi taikka joskus monikulmion ulkopuolellakin. Kuitenkin, jos jana yhdistää monikulmion vierekkäiset kulmat toisiinsa, kutsutaan janaa monikulmion sivuksi.[1][2] Lävistäjä on myös avaruusgeometriassa jana, joka yhdistää monitahokkaan kärjet toisiinsa. Jana voi tällöin kulkea kokonaan tai osittain monitahokkaan sisäosan läpi tai joskus monitahokkaan ulkopuolellakin. Silloin sitä kutsutaan avaruuslävistäjäksi. Joskus lävistäjä kulkee myös kokonaan tai osittain tahkon pintaa pitkin. Silloin sitä kutsutaan tahkon lävistäjäksi. Kuitenkin, jos jana yhdistää kaksi tahkon vierekkäistä kärkeä ja kulkee kahden vierekkäisen tahkon reunaa pitkin, kutsutaan janaa monitahokkaan särmäksi.[3][4][5]

Monikulmiot

Tapa, jolla lävistäjät voidaan piirtää monikulmioihin, jakaa monikulmiot konvekseihin ja konkaaveihin monikulmioihin. Jos monikulmion kaikki lävistäjät ovat kokonaan monikulmion sisällä, on se konveksi monikulmio, muussa tapauksessa konkaavi.

Minkä tahansa n-kulmaisen monikulmion sisäosa voidaan jakaa lävistäjillä kolmioiksi niin, etteivät lävistäjät leikkaa toisiaan. Konveksi monikulmio voidaan jakaa lävistäjillä kolmioihin

[6]

eri tavalla. Konkaavi monikulmio voidaan jakaa kolmioihin vain niillä lävistäjillä, jotka ovat kokonaan monikulmion sisällä.

Nelikulmio on pienin monikulmio, jolla on lävistäjiä, sillä kolmiolla niitä ei ole. Säännölliset monikulmiot kuuluvat konvekseihin monikulmioihin ja neliö on niistä toiseksi pienin säännöllinen monikulmio. Sillä on kaksi lävistäjää, jotka ovat yhtä pitkät. Säännöllisen viisikulmion kaikki 5 lävistäjää ovat vielä saman mittaisia, mutta säännöllisellä kuusikulmiolla on jo eri mittaisia lävistäjiä. Niistä kolme on yhtä pitkiä ja loput kuusi yhtä lyhyitä.

Monitahokkaat

Monitahokkaiden tahkot ovat monikulmiota, joten monikulmioiden nimitykset ja ominaisuudet soveltuvat myös niihin. Monitahokkaiden avaruuslävistäjien lukumäärät ja ominaisuudet riippuvat monesta seikasta yhtä aikaa. Säännöllisissä monitahokkaissa on helpompi pohtia avaruuslävistäjien ominaisuuksia. Tetraedrissä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä. Koska sen avaruuslävistäjät kulkisivat aina tahkoja pitkin, ei sillä ole sen takia sellaisia olemassa. Myöskään tahkojen lävistäjiä ei ole olemassa, koska tahkot ovat aina kolmioita.[7] Kuutiossa on neljä yhtä pitkää avaruuslävistäjää ja 12 yhtä pitkää tahkon lävistäjää.[8] Säännöllisistä viisikulmioista muodostetuilla dodekaedreillä on 12 tahkoa, 20 kärkeä ja 30 särmää. Tahkon lävistäjiä on 60 kappaletta ja ne ovat kaikki yhtä pitkiä. Sillä on silloin

avaruuslävistäjää, jotka ovat montaa eri pituutta.[9][10]

Lähteet

Viitteet

  1. ↑ Väisälä, Kalle: Geometria, s.22
  2. ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.25
  3. ↑ Väisälä, Kalle: Geometria, s.156
  4. ↑ Kontkanen, Pekka & al.: Geometria, 2005, s.126
  5. ↑ Weisstein, Eric W.: Polyhedron Diagonal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. ↑ Weisstein, Eric W.: Polygon Diagonal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. ↑ Weisstein, Eric W.: Regular Tetrahedron (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. ↑ Weisstein, Eric W.: Cube (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. ↑ Weisstein, Eric W.: Face Diagonal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. ↑ Weisstein, Eric W.: Space Diagonal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Lävistäjä_(geometria)&oldid=16325035”