Ero sivun ”Jana (geometria)” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti

[arvioimaton versio]

← Vanhempi muutos Uudempi muutos →

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

VisuaalinenWikiteksti

Rivinsisäinen

Versio 23. elokuuta 2013 kello 15.34

Jana AB on muodostettu suorasta päätepisteiden A ja B avulla. Kaikki päätepisteet, ja niiden väliset sisäpisteet (punainen osa), muodostavat yhdessä janan AB.

Jana on geometriassa kahden erillisen pisteen suorasta erottama osa, johon kuuluu kaikki pisteiden väliset suoran pisteet. Erillisiä pisteitä kutsutaan janan päätepisteiksi ja päätepisteiden välissä olevia pisteitä kutsutaan sisäpisteiksi. Janalla on suoran ominaisuuksia, mutta uutena ominaisuutena sillä on sen äärellinen pituus.^[1]

Suomen matemaattisessa kielessä jana on varattu suorista erotetuille osille. Jos ympyrän kehältä erottaa kahdella pisteellä kehän osan, kutsutaan sitä kaareksi, ja jos kaksi pistettä erottaa yleisestä käyrästä osan, voidaan tätä kutsua esimerkiksi käyrän osaksi, mutta ei kuitenkaan janaksi.^[2]^[3]

Esimerkiksi monikulmioiden reuna rajoittuu murtoviivaan, joka muodostuu päätepisteistään toisiinsa kytketyistä janoista eli sivuista. Monikulmion kärjet voidaan yhdistää muihinkin kuin vierekkäisiin kärkiin, jolloin näin syntyviä janoja kutsutaan lävistäjiksi.^[4]

Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B ja jota kutsutaan "jana AB", merkitään ${\overline {AB}}$ tai $AB$ . Kirjainten järjestys ei merkitse samalla tavalla suuntaa kuin suunnatulla janalla tai vektorilla.^[1]^[2]^[5]^[2]^[4]

Janat geometriassa

Antiikin kreikkalaisten geometriassa jana oli määritelty melko kevyesti. Euklides esitti oppikirjassaan Alkeet joukon määritelmiä, joista geometrian luonne olisi pitänyt päätellä.^[6] Nykymatematiikka tarvitsee kuitenkin tarkempia määritelmiä.

Pisteet janalla

Pisteet, joiden kaikkien kautta voidaan vetää yksikäsitteinen suora, ovat kollineaarisia. Kaikki suoran pisteet ovat suoralla, joten ne ovat itseisesti kollineaarisia. Pisteet, jotka erottavat janasta osajanoja, jakavat sen murtoviivaksi, jonka janat ovat yhdensuuntaisia alkuperäisen janan kanssa.^[7]

Janojen vertailua

Janan pituus määritellään yleisen säännön mukaan suurimmaksi etäisyydeksi ^[8] kuvion pisteiden välillä. Suurin pituus löytyy janan päätepisteiden välistä, mikä otetaan janan pituuden määritelmäksi. Kahdella suoralla janalla on sama pituus, jos edellä määritellyt pituudet ovat saman suuruiset. Samanpituisuus voidaan demonstroida siirtämällä ja kääntämällä toinen jana täsmälleen toisen päälle. Jos janojen päätepisteet yhtyvät toisiinsa, ovat janat samanpituisia.^[9]

Janojen yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne eripituisina janoina peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaisuus voidaan tutkia suorien yhdensuuntaisuustestillä. Jatketaan verrattavat janat suorilla, jotka kulkevat janojen päätepisteiden kautta. Jos suorat leikkaavat toisensa, eivät janat ole yhdensuuntaiset. Jos suorat eivät leikkaa toisensa, ovat myös janat yhdensuuntaiset.^[5]^[10]

Janojen kohtisuoruus voidaan todeta mittaamalla janojen kohtaamiskulmat. Jos kulma on 90° eli suora, ovat janat kohtisuorat. Mikäli janat eivät kohtaa toisensa, sijoitetaan janojen päätepisteiden kautta kulkemaan suorat. Jos suorien kohtaamiskulma on suora, ovat janatkin kohtisuorassa. Janojen välinen kulma mitataan samalla tavalla eli käyttämällä päätepisteiden kautta kulkevia suoria.^[11]^[12]

Janojen joukko on samalla tasolla eli ovat koplanaarisia, jos löytyy taso, jolla kaikkien janojen pisteet sijaitsevat.^[13]

Janat koordinaatistossa

Jana lukusuoralla

Kaikki janan päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös jakopisteiksi. Analyyttisessä geometriassa janan sisäpisteen koordinaatti voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöllä:

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}

missä $0<\lambda <1.$ Arvoilla $\lambda =0$ ja $\lambda =1$ saadaan janan päätepisteet.

Jana tasossa

Jos tason pisteet ilmaistaan xy-koordinaatistolla, saadaan tason jokaiselle pisteelle $P$ koordinaattipari $(x,y).$ Janan kaikki pisteet voidaan esittää edelliseen tapaan käyttäen lauseketta kummallekin koordinaatille samanaikaisesti

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}

y=\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2},

missä $0\leq \lambda \leq 1.$ Esimerkiksi janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ ja

x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}.

Jana avaruudessa

Avaruudessa eli tilassa käytetään yleisesti kolmea koordinaattia $(x,y,z)$ pisteiden paikan esittämisessä. Janan pisteet voidaan esittää vastaavasti

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}

y=\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2}

z=\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}

missä $0\leq \lambda \leq 1.$

Lähteet

Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).

Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.

Weisstein, Eric W.: Interval (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Weisstein, Eric W.: Ray (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Viitteet

↑ ^a ^b Weisstein, Eric W.: Line Segment (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ ^a ^b ^c Väisälä: Geometria, ss. 1-3
↑ Väisälä: Geometria, ss. 5-7
↑ ^a ^b Väisälä: Geometria, ss. 22-23
↑ ^a ^b Weisstein, Eric W.: Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ D. E. Joyce: Elementa, kirja I, Clakin Yliopisto, 1996
↑ Weisstein, Eric W.: Collinear (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Distance (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Length (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Parallel Lines (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Orthogonal Lines (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Perpendicular (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Coplanar (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[LineSegment-1] Weisstein, Eric W.: Line Segment (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[v1-2] Väisälä: Geometria, ss. 1-3

[v5-3] Väisälä: Geometria, ss. 5-7

[v22-4] Väisälä: Geometria, ss. 22-23

[Line-5] Weisstein, Eric W.: Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[e1-6] D. E. Joyce: Elementa, kirja I, Clakin Yliopisto, 1996

[Collinear-7] Weisstein, Eric W.: Collinear (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Distance-8] Weisstein, Eric W.: Distance (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Length-9] Weisstein, Eric W.: Length (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[ParallelLines-10] Weisstein, Eric W.: Parallel Lines (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[OrthogonalLines-11] Weisstein, Eric W.: Orthogonal Lines (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Perpendicular-12] Weisstein, Eric W.: Perpendicular (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Coplanar-13] Weisstein, Eric W.: Coplanar (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
+[[Tiedosto:Adcinak.svg|thumb|Jana ''AB'' on muodostettu suorasta päätepisteiden A ja B avulla. Kaikki päätepisteet, ja niiden väliset sisäpisteet (punainen osa), muodostavat yhdessä ''janan AB''.]]
-'''Jana''' on [[geometria]]ssa kahden [[piste (geometria)|piste]]en [[suora]]sta erottama osa. Janaa kohdellaan geometriassa myös itsenäisenä objektina, jolloin jana piirretään alkamaan pisteestä A ja päättymään pisteeseen B. Pisteitä kutsutaan janan ''päätepisteiksi''. Muut pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B, kutsutaan sitä ''jana AB'' ja merkittän <math>\overline{AB}</math> tai <math>AB</math>. Jos jana on ''suunnattu jana'' tai [[vektori]], on kirjainen järjetyksellä merkitystä. Lukuunottamatta janan äärellistä pituutta jakaa se kaikki muut suoran ominaisuudet.<ref name=v1/>
-[[Tiedosto:Adcinak.svg|thumb|Jana ''AB'']]
 [[File:Triangle with notations 2.svg|thumb|Kolmio, jota rajoittavat janat AB, BC ja AC]]
+'''Jana''' on [[geometria]]ssa kahden erillisen [[piste (geometria)|piste]]en [[suora]]sta erottama osa, johon kuuluu kaikki pisteiden väliset suoran pisteet. Erillisiä pisteitä kutsutaan janan ''päätepisteiksi'' ja päätepisteiden välissä olevia pisteitä kutsutaan ''sisäpisteiksi''. Janalla on suoran ominaisuuksia, mutta uutena ominaisuutena sillä on sen [[äärellinen]] [[pituus]].<ref name=LineSegment/>
-==Janat tasogeometriassa==
+Suomen matemaattisessa kielessä ''jana'' on varattu suorista erotetuille osille. Jos ympyrän kehältä erottaa kahdella pisteellä kehän osan, kutsutaan sitä [[kaari|kaareksi]], ja jos kaksi pistettä erottaa yleisestä käyrästä osan, voidaan tätä kutsua esimerkiksi ''käyrän osaksi'', mutta ei kuitenkaan janaksi.<ref name=v1/><ref name=v5/>
+Esimerkiksi [[monikulmio]]iden reuna rajoittuu [[murtoviiva]]an, joka muodostuu päätepisteistään toisiinsa kytketyistä janoista eli [[sivu (geometria)|sivuista]]. Monikulmion kärjet voidaan yhdistää muihinkin kuin vierekkäisiin kärkiin, jolloin näin syntyviä janoja kutsutaan [[lävistäjä|lävistäjiksi]].<ref name=v22/>
+Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B ja jota kutsutaan ''"jana AB"'', merkitään <math>\overline{AB}</math> tai <math>AB</math>. Kirjainten järjestys ei merkitse samalla tavalla suuntaa kuin [[suunnattu jana|suunnatulla janalla]] tai [[vektori]]lla.<ref name=LineSegment/><ref name=v1/><ref name=Line/><ref name=v1/><ref name=v22/>
+==Janat geometriassa==
+[[antiikin kreikka|Antiikin kreikkalaisten]] geometriassa jana oli määritelty melko kevyesti. [[Euklides]] esitti oppikirjassaan [[Alkeet]] joukon määritelmiä, joista geometrian luonne olisi pitänyt päätellä.<ref name=e1/> Nykymatematiikka tarvitsee kuitenkin tarkempia määritelmiä.
+=== Pisteet janalla ===
+Pisteet, joiden kaikkien kautta voidaan vetää yksikäsitteinen suora, ovat [[kollineaarisuus|kollineaarisia]]. Kaikki suoran pisteet ovat suoralla, joten ne ovat itseisesti kollineaarisia. Pisteet, jotka erottavat janasta osajanoja, jakavat sen [[murtoviiva]]ksi, jonka janat ovat yhdensuuntaisia alkuperäisen janan kanssa.<ref name=Collinear/>
 ===Janojen vertailua===
+Janan [[pituus]] määritellään yleisen säännön mukaan suurimmaksi [[etäisyys|etäisyydeksi]] <ref name=Distance/> kuvion pisteiden välillä. Suurin pituus löytyy janan päätepisteiden välistä, mikä otetaan janan pituuden määritelmäksi. Kahdella suoralla janalla on sama pituus, jos edellä määritellyt pituudet ovat saman suuruiset. Samanpituisuus voidaan demonstroida siirtämällä ja kääntämällä toinen jana täsmälleen toisen päälle. Jos janojen päätepisteet yhtyvät toisiinsa, ovat janat samanpituisia.<ref name=Length/>
-Eri kuvioiden janat ovat euklidisessa geometriassa samat, jos ne sijaitseat siten, että janat yhtyvät toisiinsa. Analyyttisessä geometriassa samoilla janoilla on samat päätepisteiden koordinaatit. Jos kaksi janoja vastaavat vektorit ovat saman suuntaiset ja pituiset, ovat ne samat.
-Yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Jos ''molemmat'' peittävät toisensa kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset ja ''yhtä pitkät''. Pituuksia voidaan verrata toisiinsa absoluuttisesti pituuksien erotuksella tai suhteellisesti pituuksien osamäärällä.
+Janojen [[yhdensuuntaisuus]] voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne eripituisina janoina peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaisuus voidaan tutkia suorien yhdensuuntaisuustestillä. Jatketaan verrattavat janat suorilla, jotka kulkevat janojen päätepisteiden kautta. Jos suorat leikkaavat toisensa, eivät janat ole yhdensuuntaiset. Jos suorat eivät leikkaa toisensa, ovat myös janat yhdensuuntaiset.<ref name=Line/><ref name=ParallelLines/>
+Janojen [[kohtisuoruus]] voidaan todeta mittaamalla janojen kohtaamiskulmat. Jos kulma on 90° eli [[suora kulma|suora]], ovat janat kohtisuorat. Mikäli janat eivät kohtaa toisensa, sijoitetaan janojen päätepisteiden kautta kulkemaan suorat. Jos suorien kohtaamiskulma on suora, ovat janatkin kohtisuorassa. Janojen välinen kulma mitataan samalla tavalla eli käyttämällä päätepisteiden kautta kulkevia suoria.<ref name=OrthogonalLines/><ref name=Perpendicular/>
-===Janojen sisäpisteitä===
-Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös [[Janan jakopiste|jakopisteiksi]]. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:
+Janojen joukko on samalla tasolla eli ovat [[koplanaarisuus|koplanaarisia]], jos löytyy taso, jolla kaikkien janojen pisteet sijaitsevat.<ref name=Coplanar/>
+== Janat koordinaatistossa ==
+=== Jana lukusuoralla ===
+Kaikki janan päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös [[Janan jakopiste|jakopisteiksi]]. Analyyttisessä geometriassa janan sisäpisteen koordinaatti voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöllä:
+:<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
+missä <math>0<\lambda <1.</math> Arvoilla <math>\lambda =0</math> ja <math>\lambda =1</math> saadaan janan päätepisteet.
+=== Jana tasossa ===
+Jos tason pisteet ilmaistaan xy-koordinaatistolla, saadaan tason jokaiselle pisteelle <math>P</math> koordinaattipari <math>(x,y).</math> Janan kaikki pisteet voidaan esittää edelliseen tapaan käyttäen lauseketta kummallekin koordinaatille samanaikaisesti
 :<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
 :<math>y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2,</math>
-missä <math>0<\lambda <1.</math> [[Janan keskipiste]] sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin <math>\lambda = \tfrac{1}{2}</math> ja
+missä <math>0 \le \lambda \le 1.</math> Esimerkiksi [[janan keskipiste]] sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin <math>\lambda = \tfrac{1}{2}</math> ja
 :<math>x=\frac{x_1 + x_2}{2}</math>
 :<math>y=\frac{y_1 + y_2}{2}.</math>
+=== Jana avaruudessa ===
+Avaruudessa eli tilassa käytetään yleisesti kolmea koordinaattia <math>(x,y,z)</math> pisteiden paikan esittämisessä. Janan pisteet voidaan esittää vastaavasti
+:<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
+:<math>y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2</math>
+:<math>z=\lambda z_1 + (1-\lambda)z_2</math>
+missä <math>0 \le \lambda \le 1.</math>
 ==Lähteet==
@@ Rivi 20: / Rivi 49: @@
 * {{Verkkoviite | osoite =http://users.utu.fi/harju/geometria/geometria2012.pdf | nimeke =Geometrian lyhyt kurssi | tekijä =Harju, Tero | tiedostomuoto =pdf | selite =luentomoniste | ajankohta =2012 | julkaisupaikka = Turun yliopisto | viitattu =14.12.2012 }}
-* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/LineSegment.html | Nimeke = Line Segment | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
-* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Line.html | Nimeke = Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
 * {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Interval.html | Nimeke = Interval | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
@@ Rivi 31: / Rivi 56: @@
 ===Viitteet===
 {{viitteet|viitteet=
-<!--* <ref name=e1>D. E. Joyce: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html Elementa, kirja I], Clakin Yliopisto, 1996</ref> -->
 * <ref name=v1>Väisälä: Geometria, ss. 1-3</ref>
-<!-- * <ref name=W_line>Weisstein, Eric W.: Line, Wolfram Mathworld</ref> -->
+* <ref name=v5>Väisälä: Geometria, ss. 5-7</ref>
+* <ref name=v22>Väisälä: Geometria, ss. 22-23</ref>
-}}
+* <ref name=e1>D. E. Joyce: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html Elementa, kirja I], Clakin Yliopisto, 1996</ref>
+* <ref name=Line>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Line.html | Nimeke = Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=LineSegment>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/LineSegment.html | Nimeke = Line Segment | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=Collinear>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Collinear.html | Nimeke = Collinear | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=Coplanar>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Coplanar.html | Nimeke = Coplanar | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=Length>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Length.html | Nimeke = Length | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=Distance>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Distance.html | Nimeke = Distance | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=OrthogonalLines>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalLines.html | Nimeke = Orthogonal Lines | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=Perpendicular>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Perpendicular.html | Nimeke = Perpendicular | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+* <ref name=ParallelLines>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/ParallelLines.html | Nimeke = Parallel Lines | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
+}}
 [[Luokka:Geometria]]

Ero sivun ”Jana (geometria)” versioiden välillä

Versio 23. elokuuta 2013 kello 15.34

Sisällys