Kollineaarisuus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Siniset pisteet A1, B1, A2 ja B2 ovat kollineaariset
Epäkollineaariset pisteet

Kollineaarisuus tarkoittaa geometriassa pistejoukon ominaisuutta, kun ne sijaitsevat kaikki samalla suoralla. Tasogeometriassa kaksi pistettä ovat itsestään selvästi kollineaarisia, sillä kahden pisteen avulla voidaan määrittää suora. Myös suoran omat pisteet ovat itsestään selvästi kollineaarisia.[1] Pistejoukko on epäkollineaarinen, jos kaikki pisteet eivät ole yhteisellä suoralla.[2]

Yhteisellä suoralla olevat pisteet ovat kollineaariset. Tämä voidaan merkitä lyhyesti [3]

Kollineaarisuustestejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolme pistettä, tai enemmän, sijaitsevat samalla suoralla vain erityistapauksissa ja kollineaarisuuden voi selvittää eri tavoin.

Kolmas piste sijaitsee samalla suoralla pisteiden ja kanssa, jos

[1]

Kolme pistettä muodostavat kolmion, jos ne eivät ole kolineaarisia, muuten ne muodostavat suoran. Kolmen pisteen muodostaman kolmion pinta-ala on nolla, jos kolmion kärkinä olevat pisteet ovat kollineaariset. Pinta-ala voidaan laskea determinantin avulla

[1]

tai evaluoidussa muodossa

[1]

Kolmas piste on kahden muun kanssa kollineaarinen, jos kolmannen pisteen etäisyys suorasta, jonka kaksi muuta pistettä määrittävät, on nolla. Pisteiden paikkavektoreiden avulla voidaan ristitulolla laskea pisteen etäisyys suorasta ja merkitä se nollaksi:

[1]

Menelauksen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Menelauksen lause: Pisteet R, S, T ovat kolmion ABC sivusuorilla ja ne ovat kollineaariset jos ja vain jos suunnatuilla janoilla

[4]

Menelauksen lauseessa voivat kaikki kolme pistettä olla kolmion sivusuorilla. Piste on kolmion sivusuoralla, jolloin se voi olla kolmion sivulla tai sivun jatkeella.[5]

Transversaalilause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja ovat kollineaarisia, ei ole näiden pisteiden kautta kulkevalla suoralla ja ja ovat mielivaltaisia pisteitä suorilla ja , niin ja ovat kollineaarisia jos ja vain jos , missä pituudet ovat suunnatut.[6]

Esimerkkejä kollineaarisuudesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen kolmion keskijanojen leikkauspiste (painopiste), kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste, korkeusjanojen leikkauspiste (ortokeskus) ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kollineaariset. Suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.[7][8]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e Weisstein, Eric W.: Collinear (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.18
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.5
  4. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.23
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.24
  6. http://yufeizhao.com/olympiad/geolemmas.pdf
  7. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  8. Weisstein, Eric W.: Euler Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)