Kollineaarisuus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Siniset pisteet A1, B1, A2 ja B2 ovat kollineaariset
Epäkollineaariset pisteet

Kollineaarisuus tarkoittaa geometriassa pistejoukon ominaisuutta, kun ne sijaitsevat kaikki samalla suoralla. Tasogeometriassa kaksi pistettä ovat itsestään selvästi kollineaarisia, sillä kahden pisteen avulla voidaan määrittää suora. Myös suoran omat pisteet ovat itsestään selvästi kollineaarisia.[1] Pistejoukko on epäkollineaarinen, jos kaikki pisteet eivät ole yhteisellä suoralla.[2]

Yhteisellä suoralla olevat pisteet \scriptstyle P_1, P_2, ... , P_n, \ n \ge2 ovat kollineaariset. Tämä voidaan merkitä lyhyesti \scriptstyle l(P_1, P_2, ... , P_n). [3]

Kollineaarisuustestejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolme pistettä, tai enemmän, sijaitsevat samalla suoralla vain erityistapauksissa ja kollineaarisuuden voi selvittää eri tavoin.

Kolmas piste x_1 sijaitsee samalla suoralla pisteiden x_2 ja x_2 kanssa, jos

x_2-x_1:y_2-y_1:z_2-z_1=x_3-x_1:y_3-y_1:z_3-z_1. [1]

Kolme pistettä muodostavat kolmion, jos ne eivät ole kolineaarisia, muuten ne muodostavat suoran. Kolmen pisteen muodostaman kolmion pinta-ala on nolla, jos kolmion kärkinä olevat pisteet ovat kollineaariset. Pinta-ala voidaan laskea determinantin avulla

\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0 [1]

tai evaluoidussa muodossa

x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)=0. [1]

Kolmas piste on kahden muun kanssa kollineaarinen, jos kolmannen pisteen etäisyys suorasta, jonka kaksi muuta pistettä määrittävät, on nolla. Pisteiden paikkavektoreiden \bar v_i avulla voidaan ristitulolla laskea pisteen P_1 etäisyys suorasta ja merkitä se nollaksi:

d=\frac{|(\bar v_2-\bar v_1)\times (\bar v_3-\bar v_1)|}{|\bar v_2-\bar v_1|}=0 \Leftrightarrow |(\bar v_2-\bar v_1)\times (\bar v_3-\bar v_1)| =0 [1]

Menelauksen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Menelauksen lause: Pisteet R, S, T ovat kolmion ABC sivusuorilla ja ne ovat kollineaariset jos ja vain jos suunnatuilla janoilla

\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CT}{TA} = -1 [4]

Menelauksen lauseessa voivat kaikki kolme pistettä olla kolmion sivusuorilla. Piste on kolmion sivusuoralla, jolloin se voi olla kolmion sivulla tai sivun jatkeella.[5]

Esimerkkejä kollineaarisuudesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen kolmion keskijanojen leikkauspiste (painopiste), kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste, korkeusjanojen leikkauspiste (ortokeskus) ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kollineaariset. Suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.[6][7]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e Weisstein, Eric W.: Collinear (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.18
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.5
  4. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.23
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.24
  6. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  7. Weisstein, Eric W.: Euler Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)