Käyttäjä:Riojajar/Väliaikaisartikkeli

Tämä sivu on väliaikainen säilö työn alla oleville artikkeleille. Tällä hetkellä työn alla: uudistus artikkeliin Vektori

---

<br\ >

Tämä artikkeli käsittelee lähinnä euklidisen avaruuden vektoreita. Katso vektoriavaruus yleisemmästä käsittelystä.

Matematiikassa ja fysiikassa vektori (latinan sanasta vector: kantaja, vetäjä) on suure, jolla on suunta ja suuruus. Suuntajanasta, eli janasta, joka on piirretty kahden pisteen väliin niin että toinen pisteistä on alku- ja toinen loppupiste, vektori eroaa sillä ettei sen sijaintia ole määrätty. Tavallinen esimerkki vektorisuureesta on nopeus.

Tarkkaan ottaen vektori on minkä tahansa matemaattisen rakenteen alkio, joka toteuttaa tietyt aksioomat (katso vektoriavaruus). Tässä artikkelissa vektorilla kuitenkin tarkoitetaan yleensä geometrista vektoria, jota voidaan havainnollistaa suuntajanalla.

Merkintätapa ja määritelmä

Epämuodollisesti ilmaistuna vektori on suure, jolla on suuruus ja suunta. Vektoreita ovat muun muassa tuulen nopeus jossain tietyssä pisteessä (esim. 17 m/s pohjoiseen), johonkin esineeseen kohdistuva painovoima (esim. 80 newtonia kohti maapallon keskipistettä) ja kappaleen siirtymä. Muodollisemmin ilmaistuna vektori on yhdensuuntaisten ja samanpituisten suuntajanojen, eli janojen joiden päätepisteistä toinen on valittu alku- ja toinen loppupisteeksi, joukko. Suuntajanaa, jonka pituus ja suunta ovat samat kuin vektorilla, kutsutaan tämän vektorin edustajaksi. Suuntajanasta vektori siis eroaa sillä, ettei sen sijaintia ole määrätty. Geometrisen vektorin suuruutta kuvaa paljas luku, kun taas fysikaalisen vektorin suuruus on luku yhdistettynä fysikaaliseen yksikköön, joka voi tosin olla myös luku 1.

Suureita, jotka eivät ole vektoreita ja jotka voidaan esittää yhdellä luvulla ja siihen mahdollisesti liittyvällä yksiköllä, kutsutaan erotukseksi vektoreista skalaareiksi. Skalaarisuureita ovat esimerkiksi nopeuden itseisarvo vauhti, esineen massa, kappaleen siirtymän suuruus, .

Vektoria merkitään tavallisesti joko lihavoiduilla kirjaimella tai kirjaimella jonka päälle on piirretty nuoli tai viiva. Vektoria voidaan myös merkitä kirjoittamalla vektoria edustavan suuntajanan alku- ja loppupisteet päälle piirretyllä nuolella varustettuna:

$\mathbf {a} ,\quad \mathbf {A} ,\quad {\vec {b}},\quad {\vec {B}},\quad {\bar {c}},\quad {\bar {C}},\quad {\overrightarrow {PQ}},\quad {\overleftarrow {QP}}$

Vektorin päälle piirrettyä viivaa tai nuolta käytetään erityisesti käsin kirjoitettaessa. Muunkinlaisia merkintöjä käytetään, mutta edellämainitut ovat yleisimmät.

Laskusääntöjä

Skalaaritulo

Vektoreiden a ja b välinen skalaaritulo merkitään a · b (luetaan ”a piste b”, jonka vuoksi tuloa kutsutaan myös pistetuloksi) ja määritellään:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ),$

missä cos(a,b) on vektorien välisen kulman 0° ≤ ∡(a,b) ≤ 180° kosini. Kahden vektorin skalaaritulo on nimensä mukaisesti skalaari, reaaliluku, jonka etumerkki määräytyy kosinifunktion etumerkin mukaan; jos vektorien välinen kulma on terävä, on skalaaritulon arvo positiivinen, kun taas kulman ollessa tylppä skalaaritulon arvo on negatiivinen. Jos vektorien välinen kulma on suora, eli jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, on

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$

Tämä pätee myös toisin päin, eli jos vektorien pistetulo on 0, eikä kumpikaan vektoreista a ja b ole nollavektori, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Pistetulo on vaihdannainen ja distributiivinen, sillä

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {b} ||\mathbf {a} |\cos(-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ))=|\mathbf {b} ||\mathbf {a} |\cos(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$    ja

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=a((b+c)_{a})=a(b_{a}+c_{a})=ab_{a}+ac_{a}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$

Distributiivisuus seuraa siis huomiosta, että vektorin b + c skalaariprojektio a:lla on b:n ja c:n skalaariprojektioiden summa. Liitännäisyydestä ei pistetulon yhteydessä voi puhua, sillä a · (b · c) ei ole mielekäs lauseke, koska (b · c) ei ole vektori vaan skalaari. Liitäntälain sijasta pistetulolle voidaan muotoilla skalaaritekijän siirtosääntö:

$(p\mathbf {a} )\cdot (q\mathbf {b} )=pq(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),$

missä p ja q ovat skalaareita.