Yhtälö

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtä suuriksi merkityt lausekkeet eivät suinkaan välttämättä ole täsmällisesti toistensa vastineita, vaan yhtälöstä pyritään selvittämään, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat. Tällöin puhutaan yhtälön ratkaisemisesta.

Yhtälölle ei välttämättä ole olemassa ratkaisua, tai voi myös olla että yhtälö on voimassa kaikilla muuttujien arvoilla. Aina muuttujille ei ole saatavissa lukuarvoa, vaan niille saadaan jonkinlainen lauseke, jolloin vastaus riippuu muista yhtälön muuttujista. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella x (fysiikan sovelluksissa käytetään ratkaistavan suureen symbolia).

Kun yhtälöitä on useita ja ne kaikki ovat voimassa yhtä aikaa, kutsutaan ryhmää yhtälöryhmäksi. Täsmälleen kahden yhtälön ryhmää sanotaan yhtälöpariksi.

Mitä yhtälölle saa tehdä

Yhtä suuriksi merkityille lausekkeille saa teoriassa tehdä lähes mitä tahansa yhteisiä laskuoperaatioita. Yhtälöstä saadaan oikeat ratkaisut tehdyistä operaatioista riippumatta. Näitä operaatioita voivat olla esim. yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku nollasta poikkeavalla luvulla. Myös potenssiin korotus ja juuren ottaminen on sallittua tietyin ehdoin.

Yhtälön aste kertoo, kuinka monenteen potenssiin yhtälön muuttuja suurimmillaan korotetaan. Yleisimpiä ovat yhden muuttujan ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt. Näille on saatavissa analyyttinen ratkaisu eli lauseke tai tarkka lukuarvo aina kun se on olemassa.

Esimerkki: $2x+4=3x+8$ on yhden muuttujan ensimmäisen asteen yhtälö.

Esimerkki: $3x^{2}-x+2=-x^{2}-4+2$ on yhden muuttujan toisen asteen yhtälö.

Jos yhtälön aste on suurempi kuin kaksi, käytetään usein numeerisia menetelmiä ratkaisun saamiseksi, koska analyyttinen ratkaisu voi olla mahdoton tai liian työläs. Jos halutaan tietää ratkaisujen määrä, tarvitaan usein differentiaalilaskentaa. Kuitenkin n-asteisella polynomiyhtälöllä voi olla korkeintaan n ratkaisua. Kun ei käytetä algebrallisia menetelmiä, muunnetaan muotoa $f(x)=g(x)$ oleva yhtälö usein muotoon $h(x)=f(x)-g(x)=0$.

Mitä yhtälölle ei saa tehdä

Erityisesti luvulla nolla ei saa kertoa tai jakaa yhtälöä. Tämä aiheuttaa usein virheitä tilanteissa, joissa jaetaan tai kerrotaan lausekkeella, jonka arvo on nolla. Nollalla jakaminen ei ole sallittua, koska kyseistä toimitusta ei ole määritelty matematiikassa. Nollalla kertominen puolestaan johtaa tulokseen 0 = 0, joka kyllä pitää paikkansa mutta ei kerro varsinaisesti mitään. Nollalla jaettaessa voidaan päätyä outoihin tuloksiin, kuten seuraavasta klassisesta esimerkistä nähdään:

a	=	b | ⋅ a
a ⋅ a	=	a ⋅ b | − b⋅b
a ⋅ a − b ⋅ b	=	a ⋅ b − b ⋅ b
(a + b)(a − b)	=	b(a − b) | ⁄ (a − b)
a + b	=	b (ensimmäisestä yhtälöstä saadaan a = b)
b + b	=	b | ⁄ b
1 + 1	=	1
2	=	1

Lopputuloksen valossa on selvää, että jossain kohtaa tehtiin virhe. Virhe oli se, että jaettiin lausekkeella a − b. Koska alussa määriteltiin että a = b, seuraa että a − b = 0, joten tapahtui nollalla jakaminen.

Katso myös

• Differentiaaliyhtälö
• Diofantoksen yhtälö
• Rekursioyhtälö
• Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava
• Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
• Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava