Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmannen asteen polynomiyhtälössä y = x3/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2
= (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2) voidaan joskus kirjoittaa tulomuodossa. Tulontekijöistä voidaan päätellä suoraan yhtälön juuret.

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava on Niccolò Tartaglian keksimä kaava ratkaista yhtälöt muotoa

ax^3+bx^2+cx+d=0,

missä a\not =0. Kun yhtälö jaetaan a:lla ja sijoitetaan x=y-b/3a, saadaan yhtälö muotoon y3+py+q=0. Jos p=0 nähdään, että yhtälöllä on ratkaisuna y=q^(1/3). Siten y3+py+q=0 on jaollinen polynomilla y-q^(1/3) ja saatu toisen asteen yhtälö on helppo ratkaista. Keskitytään siis tapaukseen, missä p\not =0.

Sijoittamalla y=u+v yhtälöön y3+py+q=0 saadaan yhtälö muotoon

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0.

Nyt voidaan valita u ja v siten, että 3uv=-p. Tällöin saadaan

u^ 3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0.

Tämä näennäisesti kuudennen asteen yhtälö palautuu sijoituksella t=u3 toisen asteen yhtälöksi. Kun nämä arvot on saatu, voidaan päätellä edellisten sijoituksessa saatujen muuttujien arvot ja lopulta polynomin juuret saadaan selville.

Ratkaisut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoraan yhtälön kertoimista juuret saadaan kaavoilla:[1][2] \begin{align}
x_{ 1 } =
&-\frac { b }{ 3a } \\
&+\sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) +\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
&+\sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) -\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
x_{ 2 } =
&-\frac { b }{ 3a } \\
&+\frac { -1+\sqrt { -3 }  }{ 2 } \sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) +\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
&+\frac { -1-\sqrt { -3 }  }{ 2 } \sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) -\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
x_{ 3 } =
&-\frac { b }{ 3a } \\
&+\frac { -1-\sqrt { -3 }  }{ 2 } \sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) +\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
&+\frac { -1+\sqrt { -3 }  }{ 2 } \sqrt [ 3 ]{ \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right) -\sqrt { { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } }  } \\
\end{align}

Lauseketta { \left( \frac { -{ b }^{ 3 } }{ 27{ a }^{ 3 } } +\frac { bc }{ 6{ a }^{ 2 } } -\frac { d }{ 2a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { c }{ 3a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 9{ a }^{ 2 } }  \right)  }^{ 3 } kutsutaan yhtälön diskriminantiksi. Diskriminantin ollessa positiivinen, on yhtälöllä vain yksi reaalinen ratkaisu. Diskriminantin ollessa negatiivinen, on yhtälöllä kolme reaalista ratkaisua. Mikäli diskriminantti on negatiivinen, on neliöjuuresta saatu luku imaginääriluku. Tällöin kuutiojuuren sisällä on kompleksiluku, jonka juuren ratkaisemiseksi tarvitaan De Moivren kaavaa.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Cubic Formula PlanetMath. Viitattu 14.9.2011.
  2. The Cubic Formula www.math.vanderbilt.edu. Viitattu 2015-12-20.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.