Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmannen asteen polynomiyhtälössä y = x3/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2
= (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2) voidaan joskus kirjoittaa tulomuodossa. Tulontekijöistä voidaan päätellä suoraan yhtälön juuret.

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava on Niccolò Tartaglian keksimä kaava ratkaista yhtälöt muotoa

missä . Kun yhtälö jaetaan a:lla ja sijoitetaan x=y-b/3a, saadaan yhtälö muotoon y3+py+q=0. Jos p=0 nähdään, että yhtälöllä on ratkaisuna y=q^(1/3). Siten y3+py+q=0 on jaollinen polynomilla y-q^(1/3) ja saatu toisen asteen yhtälö on helppo ratkaista. Keskitytään siis tapaukseen, missä

Sijoittamalla y=u+v yhtälöön y3+py+q=0 saadaan yhtälö muotoon

Nyt voidaan valita u ja v siten, että 3uv=-p. Tällöin saadaan

Tämä näennäisesti kuudennen asteen yhtälö palautuu sijoituksella t=u3 toisen asteen yhtälöksi. Kun nämä arvot on saatu, voidaan päätellä edellisten sijoituksessa saatujen muuttujien arvot ja lopulta polynomin juuret saadaan selville.

Ratkaisut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoraan yhtälön kertoimista juuret saadaan kaavoilla:[1][2]

Lauseketta

kutsutaan yhtälön diskriminantiksi. Jos kaikki kertoimet a, b, c ja d ovat reaalilukuja ja diskriminantti positiivinen, on yhtälöllä vain yksi reaalinen ratkaisu, josta on edellä käytetty merkintää x1. Ratkaisut x2 ja x3 ovat tällöin kompleksilukuja, jotka ovat toistensa liittolukuja. Mikäli diskriminantti on negatiivinen, on neliöjuuresta saatu luku imaginääriluku. Tällöin molempien ratkaisukaavassa esiintyvien kuutiojuurten sisällä on kompleksiluku, jonka juuren ratkaisemiseksi tarvitaan De Moivren kaavaa. Nämä kuutiojuuret ovat kuitenkin toistensa liittolukuja, minkä vuoksi niiden summa on reaaliluku. Tässä tapauksessa yhtälöllä on siis kolme reaalista ratkaisua (edellyttäen, että kertoimet ovat reaalilukuja).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Cubic Formula PlanetMath. Viitattu 14.9.2011.
  2. The Cubic Formula www.math.vanderbilt.edu. Viitattu 20.12.2015.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.