QR-hajotelma

QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan matriisi hyödyllisellä tavalla jollain tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. Tulosta pyritään usein päättelemään jokin hajotetun matriisin ominaisuus. Hajotelmia on monia ja jotkin niistä vaativat matriisilta erityisiä ominaisuuksia, kuten reaaliset kertoimet, symmetrisyyden, tai erityiset ominaisarvot. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille.

Kompleksikertoimisen $m\times n$-matriisin $A$ QR-hajotelma on tulo $A=QR$, missä $Q$ on $m\times m$ unitaarimatriisi ja $R$ on $m\times n$ yläkolmiomatriisi. Reaalikertoimisen $A$-matriisin tapauksessa $Q$ on ortogonaalimatriisi.

Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gram-Schmidt ortonormeerausprosessille, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.

QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä. Lisäksi siitä voidaan päätellä matriisin rangi (eli kuva-avaruuden dimensio) ja $Q$:sta löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.