Kolmiomatriisi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.

Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisia

sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa

sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.

Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.

Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa

Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,

eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin vastalukuja.