Kolmiomatriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.

Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisia

 \mathbf{L}=
\begin{bmatrix}
l_{1,1} &         &        &           & 0  \\
l_{2,1} & l_{2,2} &        &           &    \\
l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots &           &    \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots    &    \\
l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n}
\end{bmatrix}

sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa

 \mathbf{U} =
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}  \\
        & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}  \\
        &         & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
        &         &         & \ddots & u_{n-1,n}\\
  0     &         &         &        & u_{n,n}
\end{bmatrix}

sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.

Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.

Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa

 \mathbf{L}_{i} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &           &         &         & 0 \\
       & \ddots &           &         &         &   \\
       &        &         1 &         &         &   \\
       &        & l_{i+1,i} &  \ddots &         &   \\
       &        &    \vdots &         &  \ddots &   \\
     0 &        &   l_{n,i} &         &         & 1 \\
\end{bmatrix}.

Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,

 \mathbf{L}_{i}^{-1} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &           &         &         & 0 \\
       & \ddots &           &         &         &   \\
       &        &         1 &         &         &   \\
       &        &-l_{i+1,i} &  \ddots &         &   \\
       &        &    \vdots &         &  \ddots &   \\
     0 &        &  -l_{n,i} &         &         & 1 \\
\end{bmatrix},

eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin käänteislukuja.