LU-hajotelma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi

missä on alakolmiomatriisi ja yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi -matriisille LU-hajotelma on siis

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

LU-hajotelman avulla matriisin determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin diagonaalialkoiden tulo eli

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

missä kukin on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
  • Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.